第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识巩固
判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图像
“三个二次”：二次函数、二次方程、 二次不等式间的主要关系。
Δ>0 Δ=0 Δ<0
x1
x2
x1=x2 有两个相等实 根 b
二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
有两个相异实根
4ac b 2 [ , ) 4a
实数集R
4ac b 2 (, ] 4a
( , 增区间： ( 减区间：
单调性
b , ) 2a b ( , ) 减区间： 2a ( 增区间：
b , ) 2a
b ) 2a
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
二次函数的图像与性质
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识回顾
函数的性质
1、函数的单调性
如果函数y=f(x)在区间（a,b）上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在区间（a,b）内具有单调性 ， 区间（a,b）叫做函数y=f(x)的单调区间。
2、函数的奇偶性
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 说函数f(x)具有奇偶性。
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知识学习
2
观察一元二次函数的图像性质
y 3( x 1) 2
y 3x 1 2
2
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
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x h时,ymax k
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
b 4ac b 2 x 时，ymin 2a 4a b 4ac b 2 x 时，ymax 2a 4a
y y x x
增 减 性
a>0
a<0
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
抛物线
y a( x h)2 k
y ax2 bx c
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
开口方向 当a>0时开口向上，并向上无限延伸；当a<0时开口向下，无限延伸. 顶点坐标 对称轴 (h,k)
直线 x h
直线 x


b 2a
a>0
最 值 a<0
x h时,ymin k
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2.3.1 一元二次函数
沧州工贸学校
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识要点
一元二次函数的概念 一元二次函数的图像 【重点】顶点坐标的求解
【难点】单调区间的的判断
【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法
【学法】归纳——讨论——练习 【教学手段】多媒体电脑与投影仪
②、 y ax2 bx c(a 0) ③、 y a( x x1 )(x x2 )(a 0)
(顶点式)
(一般式)
(交点式)
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
2、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像与性质：
a0
图像
a0
定义域
值域
实数集R
1
(1,-4)
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
一元二次函数的性质
定义域：R 图像：一条抛物线
顶点坐标：
对称轴：
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
b x 2a
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
二次函数的几种表达式：
①、 y a( x h)2 k (a 0)
知识学习
写出二次函数 的图象.
观察一元二次函数的图像性质
-1 0 1 0 -3 -4 2 3 -3 0 4 7
…
…
的顶点坐标,对称轴,并画出它 y x2 2x 3
x y
…
…
-2 7
当x为பைடு நூலகம்时,y=0?
x2 2x 3 0
N
M
x=-1, x=3
即：当x2-2x-3=0时，有
x=-1, x= 2 3
知识总结
a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a， b，c，△与抛物线的关系。
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a,b a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 △＜０时抛物线于x轴没有交点
第二章 函数——函数的性质
课后练习 作业
P38 练习2.3.1 1、2、3题
b b 2 4ac x1,2 2a
x1 x2
没有实根
2a
实数集R
二次不等式ax2+bx+c>0 {x | x x1或x x2 } (a>0)的解集
二次不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
b {x | x } 2a
{x | x1 x x2 }
φ
φ
第二章 函数——函数的性质
知识学习 例题
求二次函数y=x2+x-2的图像与x轴的交点坐 标，并求出函数的单调区间和最值。 解：令y=0，则x2+x-2=0. 解得：x1=-2, x2=1
所以，二次函数y=x2+x-2的图像与x轴的交点 坐标是（-2,0）和（1,0）
第二章 函数——函数的性质
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识回顾
初中接触过的一元二次函数
例如：y=2x2-3x+1 例如：y=-x2-x+2 例如：y=x2的图像
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习
一元二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0),那么y叫做x 的一元二次函数。 其中，a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项。
知识学习 例题
求函数的单调区间和最值。 1、y=x2+2x-1的图像
b 1 所以： 2a 2
4ac b 2 9 4a 4
1 增区间为 ( , ) 2 1 (, ) 2
函数的减区间为
9 1 y 因为a>0，所以当 x 2 时，函数有最小值 max 4
第二章 函数——函数的性质
o
2 (1,-1)
第二章 函数——函数的性质
知识巩固 练习
求函数的最大值或最小值 1、y=x2+2x-1 2、y= -x2+2x-1 3、y= x2-4x+3
第二章 函数——函数的性质
知识巩固 练习
求函数y=x2+2x-1的图像与x轴 交点坐标， 并写出顶点坐标、对称轴、单调区间和最值。
第二章 函数——一元二次函数与一元二次不等式
知识学习 例题
作二次函数y=x2-2x的图像。 解：函数的定义域为R，顶点为（1，-1），对称轴为 x=1，在定义域内取几个值，列表如下：
x y=x2-2x …… …… -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 …… ……
以表中的x值为横坐标，y值 为纵坐标，在直角坐标系中 作出相应的点，用光滑的曲 线联结这些点，得到函数的 图像。