拉普拉斯变换(知识准备)
一、拉普拉斯变换定义 设f(t)是时间t的函数 t<0 f(t)=0 则
称为函数f(t)的拉普拉斯变换 说明： （1）s是复数 s j （2）L为积分运算符，表示对函数f(t)做积分变换 （3）F（S）为f(t)的拉普拉斯变换 （4）积分运算是单边积分 当t<0时 f(t)=0 (5) F(S)存在的条件：函数f(t)增大是指数级的
2
L[ f (t )] s F ( S )
n n
【定理3】（积分定理）设f(t)可作拉氏变换，且为F(s)， 则：
F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 L[ f (t )dt ] s s L[ [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) 2 ]t 0 F (s) 2 f (t )(dt ) ] 2 2 s s s

(s a)2 2 sa (s a)2 2
五、拉氏反变换的定义
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e ds j 2 j
1
j

S平面

六、用部分分式展开法求拉氏反变换
B( s) b0 s b1s bm 1s bm F ( s) n n 1 A( s) s a1s an 1s an
L f1(t ) f 2 (t ) L f 2 (t ) f1(t ) F1(s) F2 (s)
【定理11】 (单边周期函数)设f(t)是周期为T的函 数,即对于任意整数n有:
f (t ) f (t nT )
1 1 e sT
则周期函数f(t)的拉氏变换为:
F (s)
【例2】求单位斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) t
F ( S ) L[ f (t )]
t0 t0
st st e st
0 te
st
dt t
e
s

0
0
s
dt
1 s
(
0

e
dt
b a
1 s
2
a
b
udv uv

a
b
vdu)
【例3】求正弦函数的拉氏变换
四、常用拉氏变换对
f (t ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F (s) 1 1 s 1 s2 1 s n 1 1 sa s2
(t )
u (t ) t 1 n t n! e at sin t c ost e a t sin t e a t c ost
2
s
s2 2
st0
L[理有
s
L[e
at
sin t ] F ( s a )
f (t )

( s a)
2 2
2、由拉氏变换求函数初值
【例6】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求初值f(0) 【解】由初值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
2 1 1 F ( s) s 1 s 2 s 3
则F(s)的拉氏反变换为
f (t ) 2e
t
e
2t
e
3t
t0
【定理2】当方程A（S）=0有n重实数根时有
B( s) B( s) F (s) A( s ) ( s p ) n k1 k2 kn n n 1 s p ( s p) ( s p)
【定理8】 （初值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于无穷时极限存在，则：
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
s

【定理9】 （终值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于零时极限存在，则：
t
参考输 入信号 r
偏差信 号e
控制量 u
扰动 n
控制环节 GC 比较 环节 反馈信号 b 反馈环节
被控对象
GO
H
输出信号 C
自动控制理论的发展概况
1 经典控制理论
– – – – 40~50年代形成 SISO系统 基于：二战军工技术 目标：反馈控制系统的镇定 基本方法：传递函数，频率法，PID调节器
拉普拉斯变换
主要内容 1、自动控制系统中的术语和定义
2、自动控制理论的发展概况
3、拉普拉斯变换
4、拉普拉斯反变换
自动控制系统中的术语和定义 反馈控制系统的基本组成
反馈控制系统结构框图
① 测量元件：测量被控量的实际值或对被控量进行物 理转换。 ② 比较元件：将测量值和给定值进行比较，得到偏差。
③ 控制元件： 根据偏差大小产生控制信号。通常包括 放大器和校正装置，控制信号和偏差信号具有一定 关系(称为调节规律)。 ④ 执行元件：由控制信号产生控制作用，从而使被控 制量达到要求值。阀、电动机、液压马达等。 ⑤ 被控对象：被控制的机器、设备或过程等。
函数f(t)增大是指数级的含义:
存在常数
M 0
ct
C0
使得
f (t ) Me
【例1】
0t
求单位阶跃函数的拉氏变换
0 f (t ) 1
【解】 根据定义有

t0 t0
F ( S ) L[u (t )] e
0
st
1 st dt e S
0
1 s
s 1 f ( 0 ) lim sF ( S ) lim s s s a
3、由拉氏变换求函数终值
【例7】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求终值f(∞)
【解】由终值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
s 0 f ( ) lim sF ( S ) lim s 0 s 0 s a
1 jt (e e jt )e st dt 2j
1 2j
0

e
( s j ) t
dt
0
e
( s j ) t
1 1 1 dt 2 2 2 j s j s j s
【例4】求指数函数的拉氏变换
L[af1(t ) bf 2 (t )] aF1( s) bF2 (s)
说明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏 变换的线性组合。
L[ af1 (t ) bf 2 (t )]
0 [af1(t ) bf2 (t )]e dt st st a 0 f1(t )e dt b 0 f 2 (t )e dt
k1 k2 k3 F ( s) s 1 s 2 s 3
3s 7 k1 ( s 1) F ( s) s 1 ( s 1) 2 ( s 1)(s 2)(s 3) s 1 3s 7 k2 ( s 2) F ( s) s 2 ( s 2) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 2 3s 7 k3 ( s 3) F ( s) s 3 ( s 3) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 3
st

aF1 ( s ) bF2 ( s )
【定理2】（微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s),其 一阶导数可作拉氏变换，则
二阶： n阶：
L[ f (t )] sF (s) f (0) 2
( n)
L[ f (t )] s F ( s) sf (0) f (0)
0
T
f (t )e
st
dt
三、变换定理的应用
1、简化求拉氏变换的过程
【例5】求下列函数的拉氏变换
(1)
0 f (t ) u (t t0 ) 1
t t0 t t0
st0
(2) f (t ) e at sin t 【解】（1）根据时间平移定理有
L[u (t t0 )] e
0 f (t ) at Ae
t0 t0
at st
F ( S ) L[ f (t )]
A
0

[ Ae
]e
dt
0

e
( s a )t
A dt sa
二、拉氏变换定理
【定理1】（线性变换定理）若函数f1(t)和f2(t)都可 作拉氏变换，且其拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，a 和b是任意常数，则有
L[ f (t t0 )u (t t0 )] e
st0
F ( s)
说明：时间域函数偏移或延迟t0的拉氏变换，为非偏 移函数的拉氏变换乘以一个指数项，该指数项称为偏 移或延迟算子。 【定理5】 （复频率平移定理）若f(t)的拉氏变换是 F(s),a是任意常数，则
L[e
at
f (t )] F ( s a)
【定理6】 （复数微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则
d L[t f (t )] F (s) ds
f (t )] ( 1)
n
推广：
L[t
n
d
n n
F (s)
ds
【定理7】 （复数积分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则 f (t )
L[
t
]
s
F ( s ) ds
ki ( s pi ) F ( s)
s pi
i 1, 2 ,n
则F(s)的拉氏反变换为
p t f (t ) k1e 1
p t k2e 2
kn
p t e n
t 0
【例8】用部分分式展开法求下列函数的拉氏反变换 3s 7 F (s) 3 s 6 s 2 11s 6 【解】 3s 7 3s 7 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)(s 2)(s 3)