揭阳市揭东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学科试题温馨提示：请将答案写在答题卷上：考试时间为120分钟，满分150分。

第I 卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求)1.已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|}，则A ∩B ＝A({x| B.{x| D.{x|－2<x<0} 2.若向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ⊥b ，则x ＝ A.2 B.3 C.4 D.5 3.设a ＝3－5，b ＝log 30.2，c ＝1og 23，则A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b 4.已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝13，则a 5＝A.±19 B.9± C.－19 D.195.已知抛物线y 2＝2px(p>0)上点M(4，m)到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为 A.x ＝－4 B.x ＝－2 C.x ＝2 D.x ＝46.已知f(x)＝lg(10＋x)＋1g(10－x)，则f(x)是A.奇函数，且在(0，10)是增函数B.偶函数，且在(0，10)是增函数C.奇函数，且在(0，10)是减函数D.偶函数，且在(0，10)是减函数7.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点，P 为双曲线C的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A.1 D.28.在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段AB 长度(如图：粗线条部分)与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据。

在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段AB 的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为β，卫星高度角为α，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为A.(tan tan)tan tanLαβαβ-⋅B.tan tantan tanLαβαβ-C.tan tantan()Lαβαβ-D.tan()tan tanLαβαβ-二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论正确的是A.x＝8B.甲得分的平均值为26C.y＝26D.乙得分的方差小于甲得分的方差10.下面命题正确的是A.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B.命题“任意x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定是“存在x∈R，则x2＋x＋1≥0”C.“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要条件D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件11.设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是A.若l//α，m//l，m⊥β，则α⊥β；B.若m⊥α，m⊥n，则n//α；C.若m，n为异面直线，m//α，n//α，m//β，n//β，则α//β；D.若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β。

12.数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝2S n(n∈N*)，则有A.a n ＝2·3n －1B.{S n }为等比数列C.S n ＝3n －1 D.a n ＝n 21n 123n 2-=⎧⎨⋅≥⎩，，第II 卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷横线上)13.若焦点在x 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m ＝ 。

14.若△ABC 的三边长为2，3，4，则△ABC 的最大角的余弦值为 。

15.若实数x ，y 满足log 3x ＋log 3y ＝1，则11x y+的最小值为 。

16.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝AA 1，且C 1D 与底面A 1B 1C 1D 1所成角为60°，则直线C 1D 与平面CB 1D 1所成的角的正弦值为 。

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|x －a>0}。

(1)当a ＝1时，求M ∩N ，M ∪N ；(2)若x ∈M 是x ∈N 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

18.(本小题满分12分)已知数列{a n }为等差数列，若a 4＝9，S 4＝24。

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝n n 11a a +，求数列{b n }的前n 项和T n 。

19.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sinA sinC sinA sinBb a c--=+； ②2ccosC ＝acosB ＋bcosA 。

(1)求角C ；(2)若ca ＋b，求△ABC 的面积。

(若①②条件都选，按①计分) 20.(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝1，PB＝PD＝2，点E在PD上，且PE：ED＝2：1。

(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角D－AC－E的余弦值。

21.(本小题满分12分)已知函数y＝tx2－6x＋t2，问答以下问题：(1)若x∈R，且t＝1，求该函数的最小值；(2)若关于x的不等式tx2－6x＋t2<0的解集为{x|x<a或x>1}，求a的值；(3)解关于x的不等式：tx2－6x＋t2>(t－4)x＋t2－2的解集。

22.(本小题满12分)已知椭圆的两个焦点F1(30)，F230)，过F且与坐标轴不平行的直线m与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8。

(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由。

PE QE参考答案（2021.01）一：1---8: C C D D B D A B二：9：AD 10：ABCD 11:AC 12:BCD 13：3 14：41-15：332 16：51517. (1)由已知得：{}41|<<-=x x M ..2分因为,所以{}1N x x =>,所以有{}14M N x x ⋂=<<,..4分{}1M N x x ⋃=>-6分(2)若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件, 则有M 是N 的真子集，..8分 所以1a ≤-10分18. （1）由题意可知，设数列{}d a a n 公差为的首项为,1， 则⎩⎨⎧=+=+24649311d a d a ..3分.解之得：2,31==d a ..5分.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+6分. （2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，..8分. 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.12分. 19.解：（1）选择① 根据正弦定理得a c a bb a c--=+，2分. 从而可得222a c ab b -=-，3分.根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 4分. 解得1cos 2C =， 5分.因为()0,πC ∈，故π3C =.6分. 选择②根据正弦定理有sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 2分. 即()sin 2sin cos A B C C +=，3分. 即sin 2sin cos C C C =4分.因为()0,πC ∈，故sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 5分. 故π3C =6分. （2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 得225a b ab =+-，8分.即()253a b ab =+-，解得2ab =，10分. 又因为ABC 的面积为1sin 2ab C ， 故ABC 的面积为3.12分. 20.解：（1）正方形ABCD 边长为1，1PA =，2PB PD ==，所以90PAB PAD ∠=∠=，即PA AB ⊥，PA AD ⊥， ………………4分 因为ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD . ………………5分 （2）如图，以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， ………………6分则(110)AC =，，，21(0)33AE =，，. ………………8分 由（1）知AP 为平面ACD 的法向量，(001)AP =，，， ………………9分设平面ACE 的法向量为()n a b c =，，，由n AC ⊥，n AE ⊥，A CDPEBzxyF得021033a b b c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 令6c =，则3b =-，3a =，所以(336)n =-，，， ………………10分 所以6cos 3n AP AP n n AP⋅<>==，， 即所求二面角的余弦值为6. ………………12分 21.解（1）()8316,122--=+-==x x x y t .2分分的最小值为时3.....8,3,-=∴∈y x R x （2）显然t<0，且是方程的两根，.4分由韦达定理得，解得..6分（3）()246222-+->+-t x t t x tx ()()分，即7.....0)1(20222>-->++-∴x tx x t tx分解集为时当8......12|,12,01.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<<x t x x t t{}分解集为时当9......1|,022,02.<>+-=x x x t分或解集为时当10.....2,1|,12,203.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<<<<t x x x x t t(){}分解集为时当11......1|,012,24.2≠>-=x x x t分或解集为时当12.....1,2|,25.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><>x t x x t22．解：（Ⅰ）由题意知3c 4=8a ， ……………2分所以=2a ，=1b ， ……………3分所以椭圆的方程为22+=14x y . ……………4分 （2）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为=(1)y k x -，因为点(1,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，k ∈R .由22+=14=(1)x y y k x ⎧⎪⎨⎪-⎩，，消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --， 设P 11()x y ，，Q 22()x y ，， 则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ，212244=4+1k x x k -， ……………6分所以21212=(1)(1)y y k x x --，则=PE 11()m x y --，，=QE 22()m x y --，， 所以PE QE ⋅＝1212()()+m x m x y y --＝2121212(+)++m m x x x x y y -＝22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x ---＝2222222222844448++(+1)4+14+14+14+1k m k k k m k k k k k ---- ＝2222(48+1)+44+1m m k m k -- ……………9分 要使上式为定值须2248+14=41m m m --，解得17=8m ， 所以PE QE ⋅为定值3364. ……………10分 当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，，由E 17(0)8，可得=PE 9()82-，，=QE 9(82，， 所以81333==64464PE QE ⋅-， 综上所述当E 17(0)8，时，PE QE ⋅为定值3364. ……………12分。