行列式及其在初等数学中的应用【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。

1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。

例1 nn D n 000000100200100-=计算行列式　.解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312 nn nn n n n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，00)1(0000321323132231211312321323132231211312nn n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n ,　n n D D -=因而得0=n D . 2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有n 个变元的1-n 个一次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1-n , 不失一般性, 假定不等于零的1-n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121---=. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i -=),,3,2(n i = （2） 式中i d 是行列式1d 的第1-i 列元素换以1,12111,,,-n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n n i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312-+------+-+-=.把i d 中第1-i 列移到第一列, 得nn i n i n n n n i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(-+-----+-+---=.上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1(--=.代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i -=--, 或111)1(A x A x i i i =--. 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,,--- 成比例, 式中i A ),,2,1(n i = 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab ---++.解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b =-+-+-原式()()()abc bc c b ab a c ab b a =-+-+- 111111c a a abc bcacabb c b =+-11101bc a bcaabc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a ==----()()()()abc ab bc b a ac bc c a =----- ()()()()abc b a c b a c a b c a =-----()()()abc a b c a b c =---.例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd ----.解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab--=--22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc -+-=--+-1(2)2()1cd abab cd bc bc cd -=+---2(2)ab cd bc =+-.3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明： 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++acb b ac acbb ac c b a c b a c b a acb ba cc b a D r r r . 命题得证.例3.2.2已知,1,1,1=+=+=+ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab ++=++.证明： 令)(222c b a ca bc ab D ++-++=, 则0000111111213==-+-+-+=---=++c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c ba cb a D yc x c c命题得证.例3.2.3 已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明： 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cbaca cbc a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.4． 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR ∆的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y =--, 3131(,,0)PR x x y y =--则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y --⨯=--PQR ∆面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR =<> =12PQ PR ⨯=2121313112x x y y x x y y --=--11212131311102x y x x y y x x y y =---- 11223311121x y x y x y = . 4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211=y xy x y x . （4） 证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x --=--.将上式展开并化简, 得021122121=+-+--y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121=+-y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y A , 22(,)x y B , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0=++c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x B A 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211=y x y x y x . 则所求直线l 的方程为01112211=y x y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x B A , 平面S 过C ,,B A , 则平面S 的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x B A , 圆O 过C ,,B A , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122=++++y x y x y x y x y x y x y xy x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用4.2.1 三线共点平面三条互不平行的直线.0,0,0333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111=c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线平面三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211=y x y x y x . 4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111=c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c a b c =, 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c ++++=++. 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c ++=, 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b ++=⇒++11223331313000a b a b a b a x b y c ==++若1111122220a b a bL a b a b =⇒=⇒与2L 平行, 若P c y b x a ⇒=++031313也在3L 上321,,L L L ⇒交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111=c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用4.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5）若方程组(5)中的z y x ,,各代以t z t y t x ,,, 并用)0(≠t t 乘以(5)式两端: 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6）),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nnc b a c b a c b a A 222111及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n nnd c b a d c b a d c b a B 22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()(==B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)(==B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0=t .当0→t ,t x ,t y, t z将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()(==B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i ====以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111=+++d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)(==B r A r 方程的系数中至少有两组数如ii i i d c b a ,,,及jj j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a ≠==上式表示平面.0,0=+++=+++j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.(Ⅴ),2)(,2)(==B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设02211≠b a b a .我们必可求得ii i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中0≠i n , 否则行列式2211b a b a将等于0. 所以[])()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i +++++++-=+++.以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i ==+++经过直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a就是n 个平面全经过一条直线.（Ⅵ）当,3)(,2)(==B r A r 并假定2211≠b a b a方程组的系数至少有一组ii i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111≠=iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数）以上第一个等式表示组中第i 平面=+++i i i i d z c y b x a ,与直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x -==-=.因为行列式033222111=c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0=t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)(==B r A r , 并假定0333222111≠c b a c b a c b a .在这种情况下, 平面⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a相交于一点. 又因333322221111=iiiid c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 =）故平面=+++i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)(==B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设333322221111≠iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面=+++i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点. 4.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是n nnnt z y x t z y x t z y x22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n nt z y x t z y x t z y x X 22221111的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0=r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1=r , 假定01≠x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i ====上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2=r , 并假设2211≠y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得ii i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i ii i i ii i i ii +-=+-=+-=+-=假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3=r , 并假定,0333222111≠z y x z y x z y xX 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l式中i k 不等于0, 否则行列式 .0333222111=z y x z y x z y x从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ++-=++-= ).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii ++-=++-=设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0=+++Dt Cz By Ax把ii i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4=r , X 中至少有一个四阶行列式如333322221111≠iiiit z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0=+++Dt Cz By Ax1e 2e上, 则以下关系成立.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax也就是行列式.0333322221111=iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.5．三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1．定义：设平面α不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z =，，，2222()e x y z =，，，则行列式111222i j k x y z x y z 叫平面α的一个法向量，记为n ．例：直棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==， 90BAC ∠=︒，D 为棱1B B 的中点．求平面ADC 的一个法向量．如图，建立空间直角坐标 系A xyz -，则1Cynvllαm (000)A ，，， 1(002)A ，，，(010)B ，，，1(012)B ，，，(100)C ，，，1(102)C ，，，(011)D ，，，取面ADC 两个不共线向量(011)AD =，，，(100)AC =，，，则平面ADC 的一个法向量为：011(011)100i j kj k =-=-，，； 5.2.2．应用举例（1）证明线面平行：平面α的一个非零法向量是n ，平面α外一条直线l 的一 个非零方向向量是v ，则//l 平面α的充要条件是0n v ⋅=．n（2）求二面角：面α面l β=，面α的一个非 零法向量是n ，面β的一个非零法向量是m ，则二面角l αβ--的大小为：arccos m n <>，或arccos m n π-<>，．【例1】正三棱柱111ABC A B C -2，D 是AC 的中点． （I ）证明：1//AB 平面1DBC ； C -的余弦值．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，则：(000)C ，，1(00C ，， (020)B ，，，1(02B ，，10)A ，，，11A ，，1(0)22D ，，， 则3(0)22DB =-，，，11(2DC =--， 平面1DBC 的一个法向量为：33333333022122i j k n i k k j =-=+++--即333(22n=，，1(1AB =-，13(1(22933022AB n ⋅=-⋅=-++=，1AB n ⊥，所以1//AB 平面1DBC ．（Ⅱ）面1DBC 的一个法向量为：333(2n =，， 面1BC C 的一个法向量为：x1v 1v2v 2vn0032302i j km i ==-，(200)m =-，， 则3|cos |4||||23m n m n m n ⋅<>===⋅，，因此二面角1D BC C --的余弦值为34． （3）求异面直线的公共法向量：a 与b 是异面直线， 向量1111()v x y z =，，是直线a 的方向向量，2222()v x y z =，，是直线b 的方向向量，则异面直线a 与b 111222ij k n x y z x y z =法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a 和b ，且他们的一个法向量为n ，因为直线a n ⊥，记垂足为M ，b n ⊥，记垂足为N ，则线段MN 的长就是异面直线a 和b 的距离，如图，记法向量n 与BA 的夹角为θ，则0|||cos |||MN NA θ=，即0|||||cos |MN NA θ=，00|||||||cos |||n n MN e NA e NA θ==⋅，故0||||||||||n NA n AB MN n n ⋅⋅==． 其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上． 【例2】已知体1111ABCD A B C D -的棱长为1． 求异面直线1DA 与AC 的距离． 解：建立如图所示的空间直 角坐标系D xyz -，则(000)D ，，， (100)A ，，，1(101)A ，，，(010)C ，，，1(101)DA =，，，(110)AC =-，，z于是异面直线1DA 与AC 的一个法向量为101(111)110i j kn j k i ==-+-=---，，分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、D ， 异面直线1DA 与AC 的距离为||3||n AD d n ⋅===，，，， 5.2.3利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()A x y z ，，、222()B x y z ，，、 333()C x y z ，，的平面α的方程为：1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---． 定理：若平面α的方程为：0Ax By Cz D +++=，则平面外一点000()P x y z ，，到平面α的距离为： d =．【例3】已知形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，2CG =，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面EFG 的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，则：(040)B ，，，(240)E ，，，(420)F ，，，(002)G ，，， 则平面EFG 的方程为：0022040020402002x y z ------=--- 即：88481632440x y z z y x --+--+++= 亦即：360x y z ++-=所以(040)B ，，到平面EFG 的距离为：A 1d == ． 利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCD A B C D -的一个顶点A 引出的三边所对应的向量111()AB x y z =，，、222()AD x y z =，，、1333()AA x y z =，，，则平行六面体的体积为：111222333x y z V x y z x y z =平行六面体． 说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶 点引出的都可以，如BA 、BC 、1BB 等都行．定理：记四面体S ABC -的一个定点S 引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SA x y z =，，、222()SB x y z =，，、333()SC x y z =，，，则四面体S ABC -的体积为：11122233316S ABCx y z V x y z x y z -=． 说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA 、BC 、1BB 等都行．2.事实上，1112223331122x y z V Vx y z x y z ==三棱柱平行六面体， 所以1136V V V ==三棱锥三棱柱平行六面体． 【例4】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点E 是棱1DD 上的中点，截面EAC 与底面ABCD 所成的角为4π，2AB =．求三棱锥1B EAC -的体积．解：记BD 与AC 交点 为O ，由形ABCD 性质知O 是AC 中点且BO AC ⊥，E 是棱1DD上的点，易知EA EC =，则EO AC ⊥，所以EOA ∠ 4EOA π∠=，所以DE DO ==1DD =，建立如图所示的空间直角坐标系：D xyz -，则：(00E ，，(200)A ，，，1(22B ，，(020)C ，，，其中向量1(02B A =-，，，1(20BC =-，，， 1(220)B E =--，，，于是三棱锥1B EAC -的体积为：1021120|66322B EAC V --=-=-=--． 说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致 本文是在红老师的指导和帮助下完成的, 在此对老师表示衷心的感!参考文献[1]大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. : 高等教育出社, 2003.[2]高芝. 行列式浅说[M]. : 人民, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. : 高等教育, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. : 中国矿业大学, 2003.[5]钱. 高等代数题解精粹[M]. : 中央民族大学, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 学院学报, 2006(4), 27-28.[8]丽清. 行列式的应用[J]. 师学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 师学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in ElementaryMathematicsXuLijiao 2011031142 Advisor:ZhangHongMajor in Pure and Applied MathematicsCollege of Mathematics and Computer Science【Abstrac】Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. in the final, using the three order determinant in senior middle school mathematics.【Keywords】:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group。