Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
l l
1.环量
例1：设有平面矢量场 A yi xj，l 为场中的星
形线
x r cos 3 , y r sin 3 , ，求此矢量沿 l
n lim S M S
( R Q P R Q P ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
cos , cos , cos 为S 在点 M 处的法矢 n 的方向余弦。
上式为环量面密度在直角坐标系下的计算公式。
环量：设有矢量场 A( M )，沿场中某一封闭的有 t 向曲线 l 的曲线积分
l
dl
A dl
l
dl
A
叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线
l 的环量。
在直角坐标系中，矢量表示为：
A A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
R rotA
旋度矢量在数值和方向上给定最大的环量面密
度的大小和方向。 旋度的定义与坐标系选择无关。
3.旋度 旋度在直角坐标系中的表达式为，
R Q P R Q P R rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
方向的环量面密度为， 故在点 M 处沿 n
n
M
[(
R Q P R Q P ) cos ( ) cos ( ) cos ]M y z z x x y
[(2 z 4 2 x 2 y )
6 2 3 (3x 2 0) (4 xyz 0) ]M 7 7 7 6 2 3 18 2 3 8 7 7 7 7
用行列式表示为，
i R rotA x P j y Q k z R
3.旋度 根据旋度的定义可知：旋度矢量在任一方向的
投影，等于该方向的环量面密度，即
rotn A n
磁场强度为
H
，则旋度
rotH
给出给定点处最大
电流密度的方向和大小。
与
n
，通过
垂直的单位面积的流（电流密度）。
为了研究这一类问题，引入了环量面密度的概 念。
2.环量面密度
A 中的一点，在该
环量面密度：设 M 为矢量场 点处取定一个方向 n ，过该点做一微小曲面S ， 以 n 为其法矢；以S 表示其表面积，其边界 l 的 正向取作与 n 构成右手螺旋关系；矢量场沿 l 之 正向的环量 与面积 S的比值 / S的极限存在， n A 则称其为矢量场 在点 M 处沿方向 的环量面密 n 度。记作 n ，即
8 4
1.环量 环量叠加定理：若有多个矢量场 在同一个曲线
A1 , A2 , , An ，且
l 内穿进（或穿出），则总的环量
I2
I1
n n Ai dl Ai dl i n l i 1 i 1 l i 1
l l
R Q P R Q P ( )dydz ( )dxdz ( )dxdy y z z x x y S R Q P R Q P (( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y) ( ) cos(n, z ))dS y z z x x y S
的环量面密度。

R 叫做矢量场的 A
旋度。
3.旋度
旋度的定义：若在矢量场 A 中的一点 M 处存在 一个矢量 R ，矢量场 A 在点 M 处沿其方向的环量 R 面密度为最大，最大值为 ，则称矢量 R 为矢量 场 A 在点 M 处的旋度(rotation)，记作 rotA ，即
n lim lim S M S S M
l
A dl S
M
S
l
2.环量面密度
环量面密度是环量对面积的变化率。 在磁场强度 的环量面密度 向n
n lim
l S M
H 所构成的磁场中一点 M 处，沿方
H dl S
3.旋度 环量面密度的计算公式为，
R Q P R Q P n ( ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
可以视为两个矢量的点积，分别是，
R Q P R Q P R( )i ( ) j ( )k y z z x x y n cos i cos j cos k
2 y 2 ( x e 2 z sin y)i 2 x( y z e ) j 2 xyz k
2 y
3.旋度
矢量场 A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k ，矩阵，
P x Q DA x R x
2.环量面密度
3 2 4 例2：求矢量场 A xz i 2 x yzj 2 yz k 在点 M (1,2,1)处 沿矢量 n 6i 2 j 3k 方向的环量面密度。
解：矢量 n 的方向余弦为
6 2 3 cos , cos , cos 7 7 7
的流 I 。
环量表示流贡献的宏观描述，无法从微观层面 上描述流的特性。
1.环量 斯托克斯（ Stokes ）定理：
l
成右手法则。函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z )
S,l
上均有一阶连续偏导数，则有
S
( Pdx Qdy Rdz ) ((
j y z 2 sin y k z x 2e y
的旋度。
i rotA x xy 2 z 2
2 2 y 2 y 2 2 [ (x e ) ( z sin y )]i [ ( xy z ) ( x e )] j y z y z 2 2 2 [ ( z sin y ) ( xy z )]k y z
P y Q y R y
P z Q z R z
矢量场
A
的雅可比（Jacobi）矩阵。
P Q R divA x y z
散度计算公式，
3.旋度 旋度计算公式，
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度 rotH 在任一方向的投影，为该方向的电流密 度，rotH
为电流密度矢量。 斯托克斯公式可以表示为矢量形式，
A dl rotA dS
l S
3.旋度
例3：求矢量场
解
2 2 2 2 y A xy z i z sin yj x e k
R
为给定点处的一固定矢量。
的单位矢量。
为方向 n n
3.旋度 环量面密度的计算公式可以表示为，
n R n R cos( R n )
在给定点处， R
在任一方向 n 上的投影，就是该
方向上的环量面密度。
R
的方向是环量面密度最大的方向，模为最大
l
1.环量 当质点沿封闭曲线
l
运动一周时，场力 F
l
所做
t dl
的功，用曲线积分表示为
W Ft dl F dl
l l
dl
F
安培环路定理：磁场
H 的环路积分等于穿过内
部的电流
I ，有
H dl I
l
1.环量
R Q )dydz y z
z
S
P R Q P ( )dzdx ( )dxdy ) z x x y
l
联系空间第 II 型曲面积分 和该边界第II型曲线积分。