第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。
在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。
如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。
图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。
为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。
我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。
如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。
我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。
我们称ij E =E 为Lagrange-Green 应变张量(用Lagrange 坐标系来描述)，把ij ε=ε称作为Euler-Almansi 应变张量(用Euler 坐标系来描述)。
如果我们在Lagrange 坐标系中,沿着某一个特定的坐标方向取一个微分单元1d R 123(d 0,d d 0)X X X ≠==, 其变形前长度为01d d s X =而变形后的长度为0d s s =因此，该微段变形前后的相对伸长量为10d d 1d s s E s -== (3.1.14) 可见11E 与线元的相对伸长有关。
当111<<E 时，111E E ≈。
如果在Lagrange 坐标系中沿坐标轴方向取两个相互垂直的微元，分别为11d (d ,0,0)X =R 和22d (0,d ,0)X =R ，它们的长度分别为011d d s X =022d d s X =那么在变形后它们长度1d s 和2d s 分别为11d s X = (3.1.15)22d s X = (3.1.16)变形后两个微段对应向量的内积为 312121212112cos d d d d 2d d k kk x x s s X X E X X X X θ=∂∂==∂∂∑112212k kx x E X X ∂∂=∂∂ (3.1.17)其中θ为变形后两个微段之间的夹角。
所以1212122d d cos d d E X X s s θ== (3.1.18)如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为γ，也就是说θπγ-=2(3.1.19)那么sin cos γθ==(3.1.20)当111<<E ，122<<E 时，γ可以表示为12122,/2E E γγ≈= (3.1.21)所以说，12E 是与剪切变形有关的量。
如果用空间坐标系来描述变形，也就是说，位移矢量u 的分量i u 用变形后的坐标来描述1,23(,),(1,2,3)i i i i i u x X x X x x x i =-=-= 1,23(,),(1,2,3)i i i i i X x u x u x x x i =-=-=那么312131213121ij ij i j ij i j i j j i j i i j X X x x uu x xu u u u x x x x αααααααααααεδδδδ===⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂=+-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦∑∑∑ (3.1.22) 在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有12j i ij j i u u u u ε⎡⎤∂∂=+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦(3.1.23) 我们称之为Cauchy 微小应变。
在工程上描述的应变为 x u x ∂∂=ε，y v y ∂∂=ε，zwz ∂∂=εy w z v yz ∂∂+∂∂=γ，x v y u xy ∂∂+∂∂=γ，zx u w z xγ∂∂=+∂∂ 把他们写成矩阵的形式为000000000Tx y z yz zx xy x z y u v y z x w zyxεεεγγγ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎩⎭ (3.1.24) 也就是()T =εE u ∇ (3.1.25)其中 []T u v w =u[]T x y z yz zx xy εεεγγγ=ε000()(,,)000000x z y x y z y z x zyx⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦E =E ∇ 式中∇代表梯度算子x y z∂∂∂=++∂∂∂ij k ∇ i,j,k 代表z y x ,,方向的单位向量。
3.1.2 应力分析图3.2物体受力如图所示, 通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surface traction)；另一种是分布在物体体积内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(body force)。
图3.3内力和应力当一个物体处于平衡状态时， 假如我们设想从中分离出一部分B ，其表面用S 表示。
S 上任意一点Ｑ，其邻域S ∆面上作用的合力为∆F ，压力0limS S∆→∆=∆Fp正应力σ剪应力 τ截面上应力,()σ,τp 与截面法向有关. 当取定坐标系统xoy 后, 可以用每个坐标面上的沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。
根据剪应力互等定律, 其中独立的分量有6个, 我们记为应力张量(满足坐标变换规律)x xy xz ij yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦σ, zy yz zx xz yx xy ττττττ===,, (3.1.26)应力的符号规则: 外法线方向与坐标轴方向一致的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为正, 沿坐标轴负方向的应力为负；反之, 外法线方向与坐标轴方向相反的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为负, 沿坐标轴负方向的应力为正.y图3.4应力张量与截面上应力3.1.3 截面上应力在某一个方向(,,)Tx y z n n n =n 的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力p 沿三个坐标轴上的应力分量为31,1,2,3i ij j j p n i σ===∑也就是说 x x x xy y xz z p n n n σττ=++y yx x y y yz z p n n n τστ=++ z zx x zy y z z p n n n ττσ=++写成矩阵形式为000000000x yx xz y z y y z x yz z zyxzx xy p n n n p n n n p n n n σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(3.1.27)也就是说()=p E n σ (3.1.28) 式中Txyz p p p ⎡⎤=⎣⎦p[]T x y z yz zx xy σσστττ=σ()E n 就是将()E ∇中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量n ，即000()000000x z y y z x zyxn n n n n n n n n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦E n (3.1.29)3.1.4 平衡方程应力分量在物体内部的平衡方程为3,10,1,2,3ij ji j f i σ=+==∑ (3.1.30)写成分量的形式为0=+∂∂+∂∂+∂∂x zxxy x f zy x ττσ 0=+∂∂+∂∂+∂∂y yz y xy f zyxτστ0=+∂∂+∂∂+∂∂z zyz zx f zy x σττ 其中z y x f f f ,,分别是体积力在z y x ,,轴上的分量。
如果把平衡方程表示成矩阵的形式为0000000000x y x z y yz z zx xy x z y f f y z x fzyxσσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎩⎭也就是()0+=E f ∇σ (3.1.31) 式中Txyz f f f ⎡⎤=⎣⎦f3.1.5 应变能、余应变能及应力与应变关系物体发生弹性变形时，外力所做的功等于物体中所储存的应变能。