1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数 列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中 形如an，an 1的式子应进行合并．
＋
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前 剩多少项则后剩多少项．
[小题纠偏]
则数列{an}的前4项和为 A．9 C．24 B．22 D．32 ( )
解析：依题意得，数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝ 4× 3 3，因此数列{an}的前4项和等于4×3＋ ×2＝24，选C． 2 答案：C
2．若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n 项和Sn＝________．
1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋„＋23n ＝________． 2 7 答案： (8 －1) 7
＋10
(n∈N*)，则f(3)
2．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n· 2n，则Sn＝________．
答案：(n－1)2n＋1＋2
考点一
公式法求和
[题组练透] 1．(2017· 重庆适应性测试)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，
1 1 1 n－n＋1 ； ① ＝____________ nn＋1 1 1 1 － 1 2 2n－1 2n＋1 ； ② ＝__________________
2n－12n＋1 1 ③
公式有：
n＋1－ n ＝______________. n＋ n＋1
(3)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和 一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列 的前 n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列 的前 n 项和即可用倒序相加法求解．数列第四节 Nhomakorabea数列求和
淮北一中数学组
1．公式法
na1＋an 2
nn－1d na1＋ 2
na1，q＝1， a11－qn ，q≠1. 1 － q
nn＋1 2 n(n＋1)
n2
2．几种数列求和的常用方法
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间 的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和．常用的裂项
－
∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋„＋qn－1)＝ n3n－1 ＋(1＋q＋q2＋„＋qn－1)， 2 n3n－1 3n2＋n 故当q＝1时，Sn＝ ＋n＝ ； 2 2 n3n－1 1－qn 当q≠1时，Sn＝ ＋ ． 2 1－ q
解：(1)设等差数列{an}的公差是 d． ∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3， ∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得 a1＝－1， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－3n＋2．
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列， ∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1， ∴bn＝3n－2＋qn 1．
(2)由(1)知，cn＝an＋bn＝2n－1＋3n 1．
－
从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋„＋(2n－1)＋1＋3＋„＋3n
n n1＋2n－1 1－3n 3 －1 2 ＝ ＋ ＝n ＋ ． 2 2 1－3
－1
[由题悟法]
分组转化法求和的常见类型
[提醒]
某些数列的求和是将数列转化为若干个可
解析：由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代 10 入a1＋a4＝a1＋a1q ＝10，得9a1＝10，即a1＝ ． 9
3
10 1－2n 9 10 n 故Sn＝ ＝ (2 －1)． 9 1－2 10 n 答案： (2 －1) 9
9 3．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝ ． 2 (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项
[小题体验]
1．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋„＋(－1)n 1· n，则S50＝_____．
－
答案：－25
1 1 1 1 2．(教材习题改编)数列1 ，3 ，5 ，7 ，„，(2n－1)＋ 2 4 8 16 1 ，„的前n项和Sn的值等于________． 2n 1 2 答案：n ＋1－ n 2
考点二
分组转化法求和
[典例引领]
(2016· 北京高考)已知{an}是等差数列， {bn}是等比数列， 且 b2＝3， b3＝9，a1＝b1，a14＝b4． (1)求{an}的通项公式；(2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
b3 9 解：(1)设等比数列{bn}的公比为 q，则 q＝ ＝ ＝3， b2 3 b2 所以 b1＝ q ＝1，b4＝b3q＝27，所以 bn＝3n－1(n∈N*)． 设等差数列{an}的公差为 d．因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即 d＝2．所以 an＝2n－1(n∈N*)．
a1＋2d＝2， 解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得 3× 2 9 3a1＋ d＝ ， 2 2 a ＋2d＝2， a ＝1， 1 1 化简得 解得 3 1 a ＋d＝ ， d＝ ， 2 2 1 n－ 1 n＋ 1 故{an}的通项公式an＝1＋ ，即an＝ ． 2 2
求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在 含有字母的数列中对字母的讨论．
[即时应用] (2017· 兰州实战考试)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8 ＝－29． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的 前n项和Sn．
和Tn．
15＋1 (2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝ ＝8． 2 b4 设{bn}的公比为q，则q ＝ ＝8，从而q＝2， b1
3
b11－qn 1×1－2n 故{bn}的前n项和Tn＝ ＝ ＝2n－1． 1－q 1－2
[谨记通法] 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后 通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的 数列来求之．