专题6.4 数列求和
一、填空题
1．(·皖西七校联考)在数列{a n }中，a n ＝2n
－12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝321
64
，则n =______
【解析】由a n ＝2n
－12n ＝1－12n 得S n ＝n －12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6.
2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋5
2
，a 11成等比数列．若p －q ＝10，则
a p －a q ＝______
3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
，那么S 100的值为______
【解析】当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，
故a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1n 为奇数，
n
n 为偶数，
于是S 100＝50＋
2＋100×50
2
＝2 600.
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为______ 【解析】因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009
5．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，
记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为______
【解析】由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝1.∵f (π－
x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9
＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9. 6．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－5
2，则数
列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
12n ＋1
a n 的前n 项和T n ＝______ 【解析】设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋
a 3－a 12＝3
2a 1－5
4
，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－
152，S 1， S 2，S 4成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，整理得4a 2
1＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝
－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 1
2＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－1
2
(2n －1)，所以
1
2n ＋1
a n
＝－
2
2n －1
2n ＋1
＝－
12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－1－13＋13－15＋…＋1
2n －1
－12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1 7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则a 1＝________，S 5＝________.
8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于________．
【解析】因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2
n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝2k －1k ∈N *，
1，n ＝2k k ∈N *，
故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＝1 512.
9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】∵a n ＋1－a n ＝2n
，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋22
＋2＋2＝2－2n
1－2
＋2＝2n －2＋2＝2n
.
∴S n ＝2－2n ＋1
1－2
＝2n ＋1
－2.
10．(·福建泉州五中模拟)已知lg x ＋lg y ＝1，且S n ＝lg x n
＋lg(x n －1
y )＋lg(x n －2y 2)＋…＋
lg(xy
n －1
)＋lg y n
，则S n ＝________.
【解析】因为lg x ＋lg y ＝1，
所以lg(xy )＝1. 因为S n ＝lg x n
＋lg(x
n －1
y )＋lg(x n －2y 2)＋…＋lg(xy n －1)＋lg y n ，
所以S n ＝lg y n ＋lg(xy
n －1
)＋…＋lg(x
n －2y 2
)＋lg(x n －1y )＋lg x n ，
两式相加得2S n ＝(lg x n
＋lg y n
)＋[lg(x n －1
y )＋lg(xy n －1)]＋…＋(lg y n ＋lg x n )＝lg(x n ·y n )
＋lg(x
n －1
y ·xy n －1)＋…＋lg(y n ·x n )＝n [lg(xy )＋lg(xy )＋…＋lg(xy )]＝n 2lg(xy )＝n 2，所以
S n ＝n 2
2.
二、解答题
11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝
1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <1
2
.
当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －1
2n －1
＝
1
2n ＋1
2n －1
>0，
∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝1
3
.
综上所述，13≤T n <1
2
.
12．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前
n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
3
a n a n ＋1
，试求数列{b n }的前n 项和T n .。