象
• 原象 (2)给定一个集合A到集合B的映射时，a∈A， b∈B如果b和a对应，那么我们把元素b叫做 ，元素a叫做b的 ．
• 本节重点：①分段函数概念的理解；②映 射定义理解． • 本节难点：①函数图象的画法；②分段函 数的理解应用；③用映射理解函数的定 义．
• (1)分段函数的定义域是各段自变量取值集 合的并集；值域是各段函数值集合的并集； 最大 ( 小 ) 值是各段上最大 ( 小 ) 值中的最大 (小)者．研究分段函数常借助图象进行． • (2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A， 象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B 的对应法则 f. 两个集合 A、 B 可以是数集， 也可以是点集或其它集合．对应法则f可用 文字表述，也可以用符号表示．映射是一 种特殊的对应，它具有：
• 总结评述：在一个给定的映射f：A→B中， A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对 应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A 中元素对应B中元素的集合实际上是集合B 的一个子集．在涉及元素的对应问题中， 常常需要建立方程组求解．
下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A．A＝B＝N*，对应法则 f：x→y＝|x－3| B．A＝x→y＝ 0，(x＜0)
C．A＝B＝R，对应法则 f：x→y＝± x 1 D．A＝Z，B＝Q，对应法则 f：x→y＝ x
• [答案] B • [分析] 判断两个集合之间的对应是否为映 射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中 的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的 元素和它对应．
[解析]
|x| 由 于 y ＝ |x － 1| ＋ x ＝
－x，(x＜0)， 2－x，(0＜x＜1)， x，(x≥1)， 其图象如图所示：
•
总结评述：函数的图象可以是一些线段， 一段曲线，甚至是一些点．表示函数的式 子也可以不止一个，这类用几个式子表示 的函数叫做分段函数．分段函数是一个函 数，而不是几个函数，必须分段画出函数 图象，尤其需注意特殊点．
• [ 例 3] 已知集合 A ＝ B ＝ {(x ， y)|x 、 y∈R} ， 给定映射f：A→B，使得集合 A中的元素 (x， y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应． • (1)求A中元素(－2,3)的象； • (2)求B中元素(2，－3)的原象； • *(3)判断集合 A中是否存在元素与 B中形如 (a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不 存在，说明理由． • [分析] 由对应法则，可以根据A中元素与 B 中元素的对应关系建立起关于 x 、 y 的方 程组．其中第(3)问即是判断相应的方程组
• ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到B的映射与从B到A的映射是不同的； • ②任意性：集合 A 中的任意一个元素都有 象，但不要求 B 中的每一个元素都有原象； • ③唯一性：集合 A 中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
• [分析] 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应法则为 依据，采用列表、描点法作图．
x＝－1， 或 y＝3；
即 B 中元素(2，－3)的原象为
(3，－1)和(－1,3)两个；
(3)假设 A 中的元素(x，y)与 B 中元素(a，a2)对应，则有
x＋y＝a， 2 xy ＝ a ；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当 且仅当 a＝0 时， B 中形如(a， a2)的元素在 A 中存在相对应的 元素为(0,0)；而当 a≠0 时，这样的元素不存在．
• [解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于 是A中有一个元素在B中没有元素和它对应， 故不是映射；在C中，集合A中的负数在B 中没有元素和它对应，故也不是映射；(或 者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中， 集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而 0在B中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义，故选B.
• [ 例 2] 设 f ： M→N 是集合 M 到集合 N 的映 射，下列说法中正确的是 • ( ) • A．M中每一个元素在N中必有元素与之对 应 • B．N中每一个元素在M中必有元素与之对 应 • C．M中的元素在N中可以有不同元素与之 对应
• [解析] 在映射中允许集合N中的某些元素 在集合M中没有元素对应，所以B是错误的； 又因为映射中允许集合M中不同元素对应集 合N中相同的元素，就是说可以“多对一”， 因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的， 故C错，∴选A.
[解析]
(1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A
中元素(－2,3)的象是(1，－6)； (2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应
x＋y＝2， 法则有 xy＝－3； x＝3， 解得 y＝－1；
所以 x、 y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根，
图中的图象所表示的函数的解析式为( 3 A．y＝2|x－1|(0≤x≤2) 3 3 B．y＝2－2|x－1|(0≤x≤2) 3 C．y＝2－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[答案] B
)
[解析]
可将原点代入，排除选项
3 A，C，再将点1，2
代入 D 项，不符合，所以选 B.
• 1 ．当自变量 x 在不同的取值区间 ( 范围 ) 内 分段函数 取值时，函数的对应法则也不同的函数为 ． • 分段函数是一个函数，不是几个函数，只 是在定义域的不同范围上取值时对应法则 不同，分段函数是普遍存在又比较重要的 一种函数． 任何 唯一 • 2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种 对应关系f，对于集合 A中的 一个元素， f： A→B 在集合B中有 确定的元素和它对应， 那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f) 叫做集合A到B的映射，记作 .