解矩阵方程
我们知道，矩阵方程的解与线性方程组的解有一定的关系，但比线性方程组的解复杂．下面，对矩阵方程AZ=B(YA=B)的解的情况作如下的讨论.
定理l:设A是n阶可逆矩阵，那么Z=Aˉ1B(Y=BAˉ1)是矩阵方程AZ=B(YA=B)的唯一解．这样一个定理，容易证明.那么，当矩阵方程AZ=B中的A不是可逆矩阵时，方程解的情况怎样，将是我们所关心的问题．
定理2设A是m×x”矩阵，B是m×s矩阵，矩阵方程AZ=B有解的充要条件是秩A=秩(A,B)。

(A,B)是把矩阵A和B放在一起所得的矩阵．
证明“＝＞”AZ=B有解就是说线性方程组AZ(j)=B(j)，j=l，2，……s，分别有解，所以系数矩阵A的秩和增广矩阵(A ,B(j))的秩相同(z(j)，B(j)表示矩阵Z和B的第j个列向量)．即秩A=秩(A,B(j))，j=1，2，……s，从而秩A=秩(A,B)．若不然，必定有某jo，使秩A≠秩(A ,B(jo))．“＜＝”设秩A=秩(A ,B)，则有秩A=秩(A ,B(j))，j=1，2，…s，这也就是说，对每个线性方程组AZ(j)=B(j)，j=1，2，…s有解，从而矩阵方程AZ=B有解，证毕．推论l假如矩阵方程AZ=B 有解，那么，当秩A=n”时有唯一解．
下面我们给出该唯一解的求法．首先给出一个引理：引理设A是m×n”矩阵(m≥n)，秩A= n，那么存在一个m x(m—n)矩阵H，秩H=m一n，使得(A ,H)是一个m阶可逆矩阵．
证明当m=n时A本身就是可逆矩阵，引理成立．当m>n时，秩A=n就是说A 的n个m 维列向量的秩是n．那么总可以添加m一n个线性无关的m维列向量，使之成为m个列向量，而这m个列向量的秩为m．令H为添加的这m一n个列向量所作成，则H为所求，且有秩H=m一n， (A ,H)是一个m阶可逆矩阵．定理3设A是m×n矩阵，B是m×s矩阵．假设AZ=B有唯一解，那么该解的公式为z=(A ,H) ˉ1B的前n行．其中m≥n，H为引理所述．证明把矩阵(A ,H)写为分块矩阵的形式:(A ,H)〔A1C1/A2C2 〕。

其中A1是n阶方阵A2是(m—n)×n 矩阵，亦即A1是A的前n行．A2是A的后m一n行．C1、C2分别是H的前n 行和后m一n行．Cl是n×(m一n)矩阵，C2是m一n阶方阵．再作一个m×s 矩阵：(Z/0)，0是m—n行s列零矩阵，于是有：(A,H)(Z/0)=(A1C1/A2C2)(Z/0)=(A1Z/A2Z)=(A1/Z1)Z=AZ=B.。