解：
2 2 1 7
A,
b
1
1
1
2
1 1 3 0
r1 r2 1
[A,b] → 2
1
1 1 1 0 0 3 0 0 2
1 1 2
2 1
1 3
7 0
2r1
r2
→
,
r1
r3
2 3 2
2 3
r2
r3
→
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2
3 B1 0
再作初等行变换 B1 又可以变为
23
第二章 矩阵
例3. 解线性方程组
§2.4 线性方程组的矩阵解法
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解;
(2) 当 = 0时, 方程组无解;
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
(A+2E)1 = (A1 ) 2
6
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例3. 设方阵A满足2A3 A2 + E = O, 证明A + E可逆, 并求(A+E)1.
证明: 2A3 A2 + E = O
(A+E)(2A2 3A +3E) 2E = O
2A2 3A +3E
A+E 2A3 A2 + O + E 2A3 +2A2
3A2 + O 3A2 3A
3A + E
3A +3E
2E
7
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例3. 设方阵A满足2A3 A2 + E = O, 证明A + E可逆, 并求(A+E)1.
证明: 2A3 A2 + E = O (A+E)(2A2 3A +3E) 2E = O
(A+E)(2A2 3A +3E) = 2E
1/2
1 2
r3
对换变换 倍乘变换
倍加变换
x1+2x2 x3 = 3 2 (1)
2x13x2+4x3 = 4
2r1 r2, r1 r3
x1 + x2 3x3 = 1
x1+2x2 x3 = 3
x2+2x3 = 2 x22x3 = 2

r2 r3
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0 = 0 14
[A, b] =
a21 a22 … a2n …………
b2 …
为增广矩阵
am1 am2 … amn bm
13
第一章 线性方程组与消元法
§1.2 Gauss消元法
Gauss消元法(Gauss’ method)
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3
2x1+2x2 6x3 = 2
r1 r2
1 1 1+
1 1 1+ (1) 1 1+ 1 3 1+ 1 1 0
1 1 1+ (1 ) 0 3 1+ 1 1 0
1 1 1+
0
3 1
0 (2+ ) (1+ )
1 1 1+
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+ )
26
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
1 1 1+
0
1 2 1 3
0 1 2 2 1
0 1 2 2
r2 r3
1 2 1 3
0 1 2 2
00 0 0
16
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
x1+2x2 x3 = 3 2r2 r1 x1 5x3 = 1
x2+2x3 = 2 (2)
x2+2x3 = 2
0= 0
0=0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
？ 例如： 10
1 1
1
0
1 1
1 0
1 1
1
0
1
1
1 0
0
1
3
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
§2.3 可逆矩阵 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.
2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C.
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
证明A，A + 2E可逆, 并求A1， (A+2E)1.
证明: A2 A 2E = O
A(A E) 2E = O
A(A E) = 2E
A 12 (A E) = E
A1
=
1 2
(A E).
线性代数
1
第二章 矩阵
2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法
2
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
数的乘法满足交换律 ab ba，且当 ab 1
时，有 b a1, a b1.
矩阵的乘法一般不满足交换律 AB BA
但当 AB BA E 时，A与 B 有什么关系
注: A的逆矩阵记为A1.
☺ 结合律的妙用之二
4
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
注 ①对于方阵A, AB = E A可逆且A1 = B. BA = E A可逆且A1 = B.
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 1 2 1 4
0
3
3
1
6
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
台阶数即1是非1 零0行的0 行4数，阶梯线的竖线后面
的零注第 元意一 ．个00元素21 为00非零22元3，2 即不非是零行行的阶第梯一形个矩非阵!
00 0 0 4
2r1 r2, r1 r3
x1+2x2 x3 = 3
x2+2x3 = 2 1 轻
x22x3 = 2 x1+2x2 x3r2= r33
装 上 阵
x2+2x3 = 2
0= 0
2 3 4 4
1 2 1 3
2 2 6 2 1/2
1
2
r1 r2,
1 3
1 2
r3
2
(1)
2 3 4 4
1 1 3 1
2r1 r2, r1 r3
第一章 线性方程组与消元法
行阶梯形
§1.2 Gauss消元法
行最简形
x1+2x2 x3 = 3
x 2r2 r1 1 5x3 = 1
x2+2x3 = 2 (2)
x2+2x3 = 2
0=0
0= 0
由此可得原方程组的通解（一般解）:
x1 = 5x3+1
5c+1
x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 ,
(A+E)
1 2
(2A2
3A
+3E)
=
E
(A+E)1
=
1 2
(2A2
3A
+3E).
8
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
注: ② AB = O AO
B = O,
AB = O
A可逆
B = O,
AB = AC AO
B = C,
AB = AC
A可逆
B = C,
③ AX = C且A可逆 X = A1C,
(1) 对换变换: ci cj, (2) 倍乘变换: ci k, (3) 倍加变换: kcj+ci.
初等行变换 初等变换
初等列变换
§2.4 线性方程组的矩阵解法
行row，列column
可逆变换！ 同解变换！
18
例1. 解线性方程组
2x12x2 x3 = 7 x1 x2 +x3 = 2 x1 x2 + 3x3 = 0
a21x1+a22x2+… +a2nxn = b2 …………………
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
12
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
为系数矩阵
am1 am2 … amn