Ω
Ω
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= ∫∫∫ r ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
Ω
= πa .
4
dxdydz , 4.计算三重积分 I = ∫∫∫Ω 3 其中Ω由平面 (1+ x + y + z)
x = 0, y = 0, z = 0和 + y + z =1所围成的四面体. x z 解: 画出Ω的图形.用直角坐标解此题. 1
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9.4 重积分的应用
x2 + y2 = R2 1.求底圆半径相等的两个直交圆柱面
及 x + z = R 所围立体的表面积.
2 2 2
z
解: 依题意画图: 由 z = R2 − x2 可得
ds = 1+ z + z R = dxdy 由于对称性所求 R2 − x2 表面积为第一卦限表面积的八倍,
y
3.计算三重积分: (1)
其中
是由锥面
z = x2 + y2
与平面 所围成的闭区域; 解: 画出 的图形: 用柱面坐标求解. = ∫∫∫ r2 ⋅ rdrdθdz Ω
y
∫ dz
r
2
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(2) 及 解: 画出
其中 是由曲面 所围成的闭区域; 的图形: 用柱面坐标求解.
空间体在 xoy 面的投影区域为:
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z2 = 2∫ dz∫∫ dxdy ⇒ Dz : πab(1− 2 ) Dz 0 2 3c c z 1z c 4 = 2∫ πab(1− 2 )dz = 2πab(z − 2 )|0= πabc. 0 3 c 3c 2 2
a2 (1−
z z ) b2 (1− 2 ) c2 c
'2 x '2 y
R
S1
x2 2 dxdy= 1+ ( 2 2 ) dxdy R +x
o x
R
S2
R
y
(S1 + S2 = 2S1) 即有: S =16S1=16∫∫ D
=16∫
R
xy
R R2 − x2
0
dx∫
R2 −x2
R −x
2
2
dxdy
D
0
dy =16R2.
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2.求半球面 z = 12 − x2 − y2含在旋转抛物面 内的那部分面积. 2 2 解: 依题意画图: z = 12 − x − y
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5.求位于两圆 r = a cosθ, r = bcosθ,(0 < a < b) 之间的均匀 薄板的质心. 解: 依题意画图:由于对称性 y = 0. ∫∫D xdσ 其中D为 D = D − D x= 1 2 D : r ≤ bcosθ, 1 σ b a2 π 2 2 D2 : r ≤ acosθ 而 σ = π ( )2 −π ( ) = (b − a )
z
z = 2 − x2
0
2
y
= ∫ dθ ∫0 rdr ∫ 2
0
Ω 2π
1
2−r2 cos2 θ
2
r (cos θ +2sin θ )
2
f ( r cosθ, r sinθ, z)dz
(5)球域 x2 + y2 +z2 ≤ 9; 解: ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
= ∫ dθ∫0 sinϕdϕ ∫0
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(3) I = ∫∫∫ (x + y )dxdydz,其中 Ω: x + y + z ≤ a ,(z ≥ 0) Ω z 围成的闭区域. y 用球面坐标解此题. 解: 画出Ω的图形. 0 a
2 2
2
2
2
2
I = ∫∫∫ (x2 + y2 )dxdydz= ∫∫∫
Ω
Ω
x r2 sin2 ϕ ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
2
4
x
0 2
y
0
r2
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2 2 2 z (4)由曲面 z = x + 2y 及 = 2 − x 所围成的闭区域;
解:画出 的图形. Ω 在xoy 面上的投影区域为: z = x2 + 2y2 z = x2 + 2y2 z = 2 − x2 ⇒ x2 + y2 ≤1 在柱面坐标下有: x f ( x, y, z)dxdydz ∫∫∫
2
x + y =4
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(2) 平面薄板的质心:
x2 + y2 = 4
2
∫∫ x= ∫∫
D
x x2 + y2 dxdy x2 + y2 dxdy
(D = D − D2 ) 1
π 2π 2 2cosθ 9 2 2 = (∫ dθ ∫ r cosθ ⋅ rdr − ∫ π dθ ∫ r2 cosθ ⋅ rdr) 0 0 − 16(3π − 2) 0 2
dxdydz I = ∫∫∫ Ω (1+ x + y + z)3
1
0
x + y + z =1
1
= ∫ dx ∫0
0
1
1−x
dy
∫
1−x−y
0
d(1+ x + y + z) (1+ x + y + z)3
x
x + y =1
y
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d(1+ x + y + z) = ∫ dx∫ dy∫ 0 0 0 (1+ x + y + z)3 1 1−x 1 1 = ∫ dx∫ − |1−x−y dy 2 0 0 0 2 (1+ x + y + z) 1 1 1−x 1 1 = ∫ dx∫ [ − ]dy 2 2 0 0 (1+ x + y) 4 1 1 1 1 1−x = ∫ [− |0 − (1− x)]dx 2 0 1+ x + y 4 1 1 1 1 1 1 = ∫( − )dx − ∫ (1− x)dx 2 0 1+ x 2 8 0 1 1 1 1 5 2 1 = [ ln(1+ x) − x + (1− x) ]|0 = ln2 − . 2 4 16 2 16
2
+
y2
2
≤1
dv = dxdydz = abcr2 sinϕdrdϕdθ
x2 y2 z2 I = ∫∫∫ ( 2 + 2 + 2 )dxdydz = ∫∫∫ r2 ⋅ r2abcsinϕdrdϕdθ Ω a Ω b c 2π π 1 π 1 5 1 4 = abc∫ dθ ∫ sinϕdϕ∫ r dr = abc ⋅ 2π (−cosϕ)|0 ⋅ r |0 0 0 0 5 4 = πabc. 5
Ω
x (2)由 x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 2 和 x + 2y + z = 6所围成的闭区域; 3
= ∫ dx∫ dy∫ f ( x, y, z)dz
1 2 3 0 0 0
0
1
2
y
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解:画出 Ω的图形:
6
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ∫
0 2 0 3
2π
π
2 1 5 4 5 r dr = 2π ⋅ ⋅1⋅ a = πa . 0 3 5 15
4
a
(4) I = ∫∫∫
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, 其中 Ω: x2 + y2 + z2 ≤ a2
围成的闭区域. 解: 用球面坐标解此题. I = ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz = ∫∫∫ r ⋅ r2 sinϕdrdϕdθ
ds = 1+ z + z dxdy =
'2 x '2 y
z
x2 + y2 = 4z
z = 12 − x2 − y2
0
2 2
2 3
x 12 − x2 − y2 z = 12 − x2 − y2 S在xoy面上的投影区域为: ⇒ z2 + 4z −12 = 0, 1 z = (x2 + y2 ) 4 ⇒ z = 2. D : x2 + y2 ≤ 8.
x= 1
2
2
D D2 1 1 2 2 π(b − a ) 4 π π bcosθ acosθ 4 2 2 2 = (∫ π cosθdθ ∫ r dr −∫ π cosθdθ ∫ r2dr) 0 0 − π(b2 − a2 ) − 2 2 π π 4 1 3 bcosθ 1 3 acosθ 2 2 = (∫ π r |0 cosθdθ −∫ π r |0 cosθdθ) 2 2 − 3 π(b − a ) − 2 3 2
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与平面 z =1 所围成的立体的体积 4. 求曲面 z 1 和质心. 2 2 解: 依题意画图: z=x +y 0 y V = ∫∫ [1−(x2 + y2 )]dxdy