九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一元二次方程3x 2＝8x 化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（ ）A ．3，8B ．3，0C ．3，－8D ．－3，－8【答案】C【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．【详解】解：238x x = 2380x x -=∴二次项系数是3，一次项系数是8-．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AD CF BD +=；③12CE BF =；④AE BG =.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④【答案】C 【分析】根据∠ABC=45°，CD ⊥AB 可得出BD=CD ，利用AAS 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF=AD ，BF=AC ．则CD=CF+AD ，即AD+CF=BD ；再利用AAS 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE=AE=12AC ，又因为BF=AC 所以CE=12AC=12BF ；连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD=CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG=CG ；在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．【详解】∵CD ⊥AB ，∠ABC=45°，∴△BCD 是等腰直角三角形．∴BD=CD ．故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF=AC；DF=AD．∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE=AE=12 AC．又由（1），知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG=CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE=AE，∴AE＜BG．故④错误．故选C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．3．反比例函数y ＝2x 的图象位于（ ） A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限 【答案】A【分析】由反比例函数k ＞0，函数经过一三象限即可求解；【详解】∵k ＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限；故选：A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握反比例函数的图像与性质.4．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每亩产量的两组数据，其方差分别为2=0.03S 甲，2=0.01S 乙，则 （ ）A ．甲比乙的产量稳定B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定 【答案】B【分析】由2=0.03S 甲，2=0.01S 乙，可得到2S 乙＜2S 甲，根据方差的意义得到乙的波动小，比较稳定． 【详解】∵2=0.03S 甲，2=0.01S 乙，∴2S 乙＜2S 甲，∴乙比甲的产量稳定．故选：B ．【点睛】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．5．如图，AB 、CD 相交于点O ，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，则CO 等于（ ）A ．2.4B ．3C ．3.6D ．4【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到CO BO DO AO；利用AO 、BO 、CD 的长度，求出CO 的长度，即可解决问题．【详解】如图，∵AD ∥CB ， ∴CO BO DO AO=； ∵AO=2，BO=3，CD=6， ∴362CO CO =- ，解得：CO=3.6， 故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．．6．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2(1)x x x -=B ．x 2=0C ．x 2-2y=1D ．11x x =- 【答案】B【解析】利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可求解．【详解】解：A ：()21xx x -=，化简后是：x 0-=，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；B ：x 2=0，是一元二次方程；C ：x 2-2y=1含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；D ：11x x=-，分母含有未知数，是一元一次方程，所以不是一元二次方程； 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．7．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）A ．黄河入海流B ．锄禾日当午C ．大漠孤烟直D ．手可摘星辰【答案】D【解析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．【详解】A 、是必然事件，故选项错误；B 、是随机事件，故选项错误；C 、是随机事件，故选项错误；D 、是不可能事件，故选项正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【答案】C【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A 、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误； B 、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C 、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D 、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．9．若点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 都在反比例函数2y x =-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y << 【答案】B【分析】根据反比例函数的图象特征即可得． 【详解】反比例函数2y x=-的图象特征：（1）当0x <时，y 的取值为正值；当0x >时，y 的取值为负值；（2）在每个象限内，y 随x 的增大而增大由特征（1）得：1230,0,0y y y ><<，则1y 最大由特征（2）得：23y y <综上，231y y y <<故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键．10．一副三角板如图放置，它们的直角顶点A 、D 分别在另一个三角板的斜边上，且EF BC ∥，则1∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质，可得∠FAC=∠C=45°，然后根据三角形外角的性质，即可求出∠1.【详解】解：由三角板可知：∠F=30°，∠C=45°∵EF BC ∥∴∠FAC=∠C=45°∴∠1=∠FAC ＋∠F=75°故选：C.【点睛】此题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键.11．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．2x+y ＝1B ．x 2+3xy ＝6C ．x+1x ＝4D ．x 2＝3x ﹣2 【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意；B 、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C 、原式为分式方程，不符合题意；D 、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.12．对于非零实数a b 、，规定11a b b a ⊕=-，若()22x 11⊕-=，则x 的值为 A ．56 B ．54 C ．32 D ．16- 【答案】A【解析】试题分析：∵11a b b a ⊕=-，∴()1122x 12x 12⊕-=--．又∵()22x 11⊕-=，∴1112x 12-=-． 解这个分式方程并检验，得5x 6=．故选A ． 二、填空题（本题包括8个小题）13．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．【答案】y ＝－5（x+2）2－1【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-1），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-1．故答案为：y=-5（x+2）2-1．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．14．已知抛物线y ＝2x 2﹣5x+3与y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0,3）【分析】要求抛物线与y 轴的交点，即令x=0，解方程即可．【详解】解：令x=0，则y=3，即抛物线y=2x 2-5x+3与y 轴的交点坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与y 轴的交点．求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与y 轴的交点坐标，令x=0，即可求得交点纵坐标．15．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足PA ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF＝_____．171-． 【分析】连接OP ，OC ，证明△OAP ≌△OCP ，可得PC 与⊙O 相切于点C ，证明BC=CP ，设OM ＝x ，则BC＝CP ＝AP ＝2x ，PM ＝y,证得△AMP ∽△OAP ，可得：1178x y +=，证明△PMF ∽△BCF ，由PF PM BF AP=可得出答案.【详解】解：连接OP，OC.∵PA与⊙O相切于点A，PA＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC与⊙O相切于点C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC＝CP＝AP．∵OA＝OB，∴OM＝1122BC AP=．设OM＝x，则BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y，∵∠OAP＝∠AMP＝90°，∠MPA＝∠APO，∴△AMP∽△OAP，∴AP OP PM AP=．∴AP2＝PM•OP，∴（2x）2＝y（y+x），解得：1178x y+=，1178x y-=（舍去）．∵PM∥BC，∴△PMF∽△BCF，∴PF PM PMBF BC AP==＝17124yx-=．故答案为：171-．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理. 正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.16．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为.【答案】9.6【解析】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.设树的高度为x米，由题意得解得则树的高度为9.6米．考点：本题考查的是比例式的应用点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.17．底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)【答案】一定【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，根据相似三角形的判定定理证明．【详解】如图：∵AB=AC，DE=EF，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B=∠E，∴∠B=∠C=∠E=∠F，∴△ABC∽△DEF，故答案为一定．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．18．在等腰Rt ABC ∆中，2AB BC ==，点P 是Rt ABC ∆所在平面内一点，且PA PB ⊥，则PC 的取值范围是______． 【答案】5151PC -≤≤+【分析】根据题意可知点P 在以AB 为直径，AB 的中点O 为圆心的O 上，然后画出图形，找到P 点离C 点距离最近的点和最远的点，然后通过勾股定理求出OC 的长度，则答案可求．【详解】,2PA PB AB BC ⊥==∴点P 在以AB 为直径，AB 的中点O 为圆心的O 上 如图，连接CO 交O 于点1P ，并延长CO 交O 于点2P11,2,902BO AB BC ABC ===∠=︒ 2222215CO BC BO ∴=+=+=当点P 位于1P 点时，PC 的长度最小，此时51PC OC OP =-=当点P 位于2P 点时，PC 的长度最大，此时51PC OC OP =+=5151PC ≤≤5151PC ≤≤．【点睛】本题主要考查线段的取值范围，能够找到P 点的运动轨迹是圆是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．【答案】（1）见解析；（2）DB=5.【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长，进而可得结果. 【详解】解：（1）∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）∵△ABC∽△ACD，∴AB ACAC AD=，即664AB=，解得AB=9，∴DB=AB－AD=5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键. 20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝x m．（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．【答案】（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，∴x（26﹣x）＝165，解得：x1＝11，x2＝15，答：x的值为11m或15m；（2）由题意可得出：S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，由题意得：14≤x≤19，∵-1＜0，14≤x≤19，∴S随着x的增大而减小，∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，答：花园面积S的最大值为168平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.21．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？【答案】（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．22．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=-2x+140；（2）当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案．【详解】解：（1）由图象，设函数解析式为y=kx+b ，把（60，20）、（70，0）代入，得6020700k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：k=﹣2，b=140 ，∴函数解析式为y=-2x+140；（2）设该品牌小黄鱼每千克的售价为x 元，总利润为W 元，根据题意，得2(40)(40)(2140)22205600W x yx x x x =-⋅=--+=-+-当x=2ba-=55时，W 有最大值244ac b a -=1． 即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出关系式，从而进行解题．23．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y （台）和销售单价x （万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）y 与x 的函数关系式为5200y x =-+；（2）该设备的销售单价应是27 万元．【分析】（1）根据图像上点坐标()()28,60,32,40,代入y kx b =+,用待定系数法求出即可.（2）根据总利润=单个利润⨯销售量列出方程即可.【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，依题意，得6028,4032.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得5,200.k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数关系式为5200y x =-+．（2）依题知()()255200130x x --+=．整理方程，得26510260x x -+=．解得122738x x ==，．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴238x =（舍），所以27x =．答：该设备的销售单价应是27 万元．【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.24．已知二次函数21y x bx =+-的图象经过点()32，． （1）求这个函数的解析式；（2）画出它的简图，并指出图象的顶点坐标；（3）结合图象直接写出使2y ≥的x 的取值范围．【答案】（1）221y x x =--；（1）图见解析，顶点坐标是()1,2-；（3）3x ≥或1x ≤-． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（1）先化为2221(1)2y x x x =--=--，即可得出顶点坐标，并作出图像；（3）根据图象即可得出，3x ≥或1x ≤-时，y≥1．【详解】（1）函数21y x bx =+-的图象经过点(3,2)，∴9+3b -1=1，解得2b =-，∴函数的解析式为221y x x =--； （1）2221(1)2y x x x =--=--如图，顶点坐标是(1,2)-；（3）当2y =-时, 221=-2x x --解得：121,3x x =-=根据图象知，当3x ≥或1x ≤-时，2y ≥,∴使2y ≥的x 的取值范围是3x ≥或1x ≤-．【点睛】考查待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的性质，要根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围．25．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【答案】经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：。