第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的收敛与发散给定一个数列 ,,,,,321n u u u u 将各项依次相加, 简记为∑∞=1n n u ，即 +++++=∑∞=n n n u u u u u 3211，称该式为无穷级数，其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 级数的前n 项和n nk k n u u u u u S ++++=∑== 3211称为级数的部分和。

若S S n n =∞→lim 存在，则称无穷级数收敛，并称S 为级数的和,记作∑=∞=1n n u S ；若n n S ∞→lim 不存在，则称无穷级数发散。

结论：等比（几何）级数0nn aq∞=∑：当||1q<时收敛当||1q≥时发散二、收敛级数的和若1nn u∞=∑收敛，则其和定义为n n nk k n n n S u u S ∞→=∞→∞==∑=∑=lim lim 11。

三、无穷级数的基本性质（1）若级数∑∞=1n n u收敛于S ，即∑=∞=1n n uS ，则各项乘以常数c 所得级数∑∞=1n n u c 也收敛，其和为cS 。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数∑=∞=1n n u S ，∑=∞=1n nv σ，则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 其和为σ±S 。

注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减【例】取n n u 2)1(-=，12)1(+-=n n v ，而0=+n n v u 。

（3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。

（4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。

推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

【例】0)11()11(=+-+- ，但 +-+-1111发散。

【例2】判断级数的敛散性：++--++--131131121121四、级数收敛的必要条件必要条件：若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0nn u →∞=。

逆否命题：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散。

【例】 ++-++-+--1)1(544332211n n n注：lim 0n n u →∞=并非级数收敛的充分条件【例】调和级数 +++++=∑∞=n nn 13121111【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和：（1）∑⎪⎭⎫⎝⎛+∞=111ln n n （2）∑-∞=1cos 1n n n π【答案】（1）发散；（2）发散五、两个重要级数：几何级数与p 级数的敛散性（1）几何级数：1n n r ∞=∑，当||1r <时收敛；当1||≥r 时发散.（2）p 级数(或对数p 级数)：11p n n ∞=∑21ln p n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：若0≥n u ，则称∑∞=1n n u 为正项级数。

收敛定理1：正项级数∑∞=1n n u 收敛等价．．于部分和序列nS ),2,1( =n 有界。

收敛定理2 ：(比较审敛法)设∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 是两个正项级数, 且存在+∈Z N ，对一切N n >，有n n v k u ≤（常数 0>k ),则有（1）若强级数∑∞=1n n v 收敛，则弱级数∑∞=1n n u 也收敛； （2）若弱级数∑∞=1n n u 发散，则强级数∑∞=1n n v 也发散。

【例1】 判断下列级数的敛散性（1）∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=1531n nn （2）)1,0(111≠>∑+∞=a a an n【答案】（1）收敛；（2）当10<<a 时，发散；当1>a 时，收敛；（3）∑-∞=1576n n n n（4）∑++∞=1211n n n 【答案】（3）收敛； （4）发散；（5）∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=1211ln n n【答案】（5）收敛【例2】（97一）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=，证明:(Ⅰ)lim n n a →∞存在；（Ⅱ）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛. 【解析】（1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明收敛定理3： (比较审敛法的极限形式)设两正项级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v ，满足l v u n nn =∞→lim ，则有: （1）当∞<<l 0时,两个级数同时收敛或发散； （2）当0=l 时，且∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛； （3）当∞=l 时，且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。

【例3】判断下列级数的敛散性（1） ++++++n n n )1(34323221333（2）∑∞=2)(ln 1n pn （其中常数0>p ） 【答案】（1）收敛；（2）发散【例4】（04一）设1n n a ∞=∑为正项级数，下列结论中正确的是（A ）若lim 0,n n na →∞=则级数1n n a ∞=∑收敛.（B ）若存在非零常数,λ使得lim .n n na λ→∞=则级数1nn a∞=∑发散. （C ）若级数1n n a ∞=∑收敛，则2lim 0.n n n a →∞=（D ）若级数1n n a ∞=∑发散，则存在非零常数,λ，使得lim .n n na λ→∞=【答案】（B ）收敛定理4：（比值审敛法）设∑∞=1n n u 为正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim ，则有： （1）当1<ρ时，级数收敛；（2）当1>ρ或∞=ρ时，级数发散。

（3）当1=ρ时,级数可能收敛也可能发散.【例】-p 级数∑∞=11n p n：【例5】判断级数的敛散性（1）∑∞=123n n n （2）∑∞=110!n n n【答案】（1）收敛；（2）发散【例6】（04三）设有下列命题： ①若2121()n n n μμ∞-=+∑收敛，则∑∞=1n n u 收敛. ②若∑∞=1n n u 收敛，则1001n n u ∞+=∑收敛.∑∞=1n u 发散.④若1()n n n v μ∞=+∑收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是②③【例7【答案】收敛.收敛定理5：（根值审敛法）设∑∞=1n n u 为正项级数, 且ρ=∞→n n n u lim ，则有：（1）当1<ρ时，级数收敛； （2）当1>ρ时，级数发散；（3）当1=ρ时,级数可能收敛也可能发散。

【例】-p 级数∑∞=11n p n：【例8】判断级数的敛散性（1）∑⋅∞=134 3nnnn（2）∑-∞=--112122)12(3nnnn【答案】（1）收敛；（2）发散二 、交错级数及其审敛法设 ,2,1,0=>n u n ，则各项符号正负相间的级数 +-+-+--n n u u u u 1321)1(称为交错级数。

收敛定理6 ：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足条件：（1）1(1,2,)n n u u n +≥=； （2）lim 0n n u →∞=，则级数∑-∞=-11)1(n n n u 收敛【例9】用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性：∑-∞=-21ln )1(n n nn【解析与答案】单调性，极限（A ）∑∞=1n n u 与∑∞=12n n u 都收敛.（B ）∑∞=1n n u 与∑∞=12n n u 都发散.（C ）∑∞=1n n u 收敛而∑∞=12n n u 发散.（D ）∑∞=1n n u 发散而∑∞=12n n u 收敛.【答案】（C ）三、绝对收敛与条件收敛定义：对任意项级数∑∞=1n n u ，若∑∞=1n n u 收敛，则称原级数∑∞=1n nu绝对收敛；若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级数∑∞=1n nu条件收敛。

【例】∑-∞=-111)1(n nn条件收敛；211nn∞=∑为绝对收敛。

定理7 绝对收敛的级数一定收敛。

【例11】判断级数的敛散性。

（1）∑-∞=12 )1( nnnen（2）∑-∞=-111)1(nnn（3）∑⋅-∞=-1121)1(n n n n （4）∑∞=14sin n nn α 【答案】（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）绝对收敛；（4）绝对收敛（A ）发散. （B ）绝对收敛. （C ）条件收敛.（D ）收敛或者发散与k的取值有关.【答案】（C ）n（A）绝对收敛. （B）条件收敛.（C）发散. （D）收敛性与α的取值无关. 【答案】（C）（A）发散. （B）条件收敛. （C）绝对收敛. （D）收敛性与α有关. 【答案】（C）【例15】（94一）设常数0>λ，且级数∑∞=12n n a 收敛，【答案】（C ）【例16】（96一）设0>n a ),2,1( =n 且∑∞=1n n a 收敛，（A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）敛散性与λ有关.【答案】（A ）【例17】（96三）下述各选项正确的是（A）若∑∞=12nnu和∑∞=12nnv都收敛，则∑+∞=12)(nnnvu收敛.（D ）若级数∑∞=1n n u 收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n n v 也收敛.【答案】（A ）第三节 幂级数一、 函数项级数的概念设),2,1()( =n x u n 为定义在区间I 上的函数,则称∑++++=∞=121)()()()(n n n x u x u x u x u为定义在区间 I 上的函数项级数。

对I x ∈0，若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛,称0x 为其收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域； 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散，称0x 为其发散点,所有发散点的全体称为其发散域。

在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数)(x S ，称它为级数的和函数 , 并写成)()(1x u x S n n ∑=∞=。

【例】等比级数+++++=∑∞=n n nx x x x 201二、幂级数及其收敛性形如：+-+-+=∑-∞=20201000)()()(x x a x x a a x x a n n n +-+n n x x a )(0的函数项级数称为幂级数, 其中数列),1,0( =n a n 称为幂级数的系数。

下面着重讨论00=x 的情形, 即+++++=∑∞=n n n n n x a x a x aa x a 22100定理 1 (阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在0x x =点收敛，则对满足不等式0x x <的一切x 幂级数都绝对收敛。