o y L
M(x,y)
Q
α α
α Q Mo(xo,yo)
M(x,y)
x
例3：由圆外一点Q (a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A,B两点, 求AB中点P的轨迹的参数方程。 y y
Q(a,b) Q(a,b)
分析：割线过点Q (a,b)， 故割线PQ方程为： y-b=k(x-a), 依题意，OP⊥PQ于P，于是 OP方程为： 1 y= - k x，所以斜率k可作为参数。
x
例2：求经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线L的参数方程。 解：设点M(x,y)是直线L上任意一点， 过点M作y轴的平行线，过点M0作x轴的平 行线，两直线相交于点Q。规定直线L向上 的方向为正方向（如图）。 当M0M与L同方向，或两点M，M0重合时， 因M0M=|M0M|，所以有： M0Q=M0Mcosα ; QM=M0Msinα 当M0M与L反方向时，M0M，M0Q，QM同时改变符号，上 述式子仍然成立。（如图） 设M0M=t，取t为参数，∵M0Q=x-x0 , QM=y-y0 ; ∴x-x0=tcosα, y-y0=tsinα x=x0+tcosα 所以直线L的参数方程为： y=y0+tsinα
C A A O O P(x,y) P(x,y) D x x
解：设过点Q的直线方程是： y-b=k(x-a),， 由OP⊥PQ于P，则圆心O与AB中点P的连线方程 为y= - 1 x，此两直线的交点即为P。 k k(ka-b) y-b=k(x-a) x= k2+1 解方程组 y= - 1 x k （ k为参数范围如图）
二.建立曲线的参数方程： 例1：以原点为圆心，分别以a,b为半径作两个圆，点B是大圆 半径与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的 参数方程。 解：设点M的坐标为（x,y)，θ是以Ox为始边， OA为终边的 y 正角取为参数。则 x=ON=|OA|cos θ 即： A y=NM=|OB|sin θ B M(x,y) x=acos θ y=bsin θ θ 这就是所求的点M的轨迹的 o a b N 参数方程,图形是一个椭圆。 其中θ叫做椭圆的离心角。 θ=∠xOA ≠∠xOM（椭圆上 点M与中心O连线的倾角）
B B
得点P的轨迹的参数方程为：
y= b： 一.参数方程： 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数 x=f(t) y=g(t) 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y)都 在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x,y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数。 二.几种曲线的参数方程: x= v0cosθ. t 1.炮弹弹道方程: y= v0sinθ.t- 1 gt2 2 x=acos θ 2.椭圆曲线方程: y=bsin θ 3.圆的参数方程: x=rcos θ y=rsin θ x=x0+tcosα 4.直线的参数方程： y=y0+tsinα