05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@qq.com），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .......................... 9

1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，许用应力工作应力、；

刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，yy许用变形工作变形、。 如，梁

弯曲强度条件：WMmaxmax；剪切强度条件：bISFzQ*max,max

刚度条件：挠度lylymax；转角max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。 力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。 变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。 物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。 故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。

1 梁的弯曲 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力

公式推导 1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。 考察一端固定，一端受弯矩M作用的梁（纯弯曲）。根据“平截面假设”，其变形图示如下：

图1-1 在平截面假设下， （1）同一横截面上各点（z，y）应变ε沿y线性分布； （2）应变ε与梁高方向的y值成正比，比例常数cx仅与横截面位置有关； （3）中性轴z上各点（y=0）的应变ε为零。

1ycdxxydyxx横截面上的各点





M M

dx

z

x y ε=ydυ dυ

y

x

z

dx M M

dx

z ε y ε=ydυ dυ y x z

dx

(a) 弯曲前平面图 (b) 弯曲后平面图

(c) 弯曲前立体图 (d) 弯曲后立体图 从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z）转过一个角度（如图1-1、1-2中的dφ），横截面仍然保持为平面， 公式（1）表明：各纵向纤维（x方向）的单位长度伸长量εx（线应变、正应变）可表

示为dxydyx，同一截面各点（y坐标不同）对应的纵向纤维原长dx是一样的，但伸长量ydυ不同，随y线性变化。对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx(y)是不一样大的。主题字母ε表示物理量为应变，下标x表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y表示εx的自变量是y，即εx(y)表示x方向的纵向纤维线应变，它随y值变化。

1ycdxxydyxx横截面上的各点



，表示梁同一横截面上各点的应变εx沿y

方向线性分布，沿z方向不变。在y=0，即中性轴z轴上各点的应变为零。正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。

1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。 2E

M x y

z

图1-2 在平截面假设下同一横截面上各点（z，y）应变ε沿y线性分布，y=0各点为零 1ycdxxydyxx横截面上的各点





z εdx y ε拉,maxdx ε压,maxdx ε y α dφ M x y dx

yεdx 1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。

在梁的横截面上的“广义合力”为作用在xy面内的力偶M（弯矩），故横截面上各点“正应力”向z轴取力矩的代数和，应该等于弯矩M。 把该横截面划分为若干个微小的矩形截面dA=bdy，设作用在dA截面的平均正应力为

σ，则一个矩形微截面上的轴向力为dAdFN。它对z轴的力矩为NydFdM，y为微截面dA形心到中性轴z的距离。 根据“合力偶等于分力偶之和”，则 3AAdAyydFM

1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。 为了方便推导和阅读，把上面的几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下： 1ycyxx，2E，3AdAyM

为了求得应力公式，推导如下; 42123zxAxAxAAAIEcdAyEcydAycEdAyEdAyEdAyM

式中，52AzdAyI，称为横截面对形心轴z的惯性矩，显然，其单位为长度的4次方。 将（1）（2）式回代到（4）：

6/214zzzzxIyIyEEIyEIEcM

将（6）式恒等变形，得教科书上梁的应力计算公式：7yIMz （7）式表明梁的正应力沿梁高方向y成线性分布。

虽然应变ε沿y线性分布，但不知材料性质时， 应力σ不一定线性。沿y线性分布，由于ε(0)=0， 故应力σ（y=0）=f(ε)=f(0)=0，假设σ分布如左下图

则只有3AAdAyydFM成立。

M ε

y

z ε

y ε

拉,max

ε压,max

x

y

z

z y y dy dA=bdb h/h/2

1ycdxxydyxx横截面上的各点





σ y 图1-3 弯矩与正应力的一般表达式