www.zhinanche.com习题版权属物理学院物理系《大学物理AII》作业No.08量子力学基础
班级________学号________姓名_________成绩_______一、选择题：1．如图所示，一束动量为p的电子，通过缝宽为a的狭缝。在距离狭缝为R处放置一荧光屏，d等于[](A)2a2/R(B)2ha/p(C)2ha/(Rp)(D)2Rh/(ap)
解：该电子波衍射等同于单缝衍射，则根据单缝衍射中央明纹线宽度公式fadλ2=有屏上衍射图样中央最大的宽度apRhphRaRad222=××=××=λ故选D2．若α粒子（电荷为2e）在磁感应强度大小为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是
[](A)eRBh2(B)eRB
h
(C)eRB21(D)eRBh
1
解：由洛仑兹力BvqF���×=和向心力RvmFn2=有圆形轨道运动半径eBmvqB
mvR
2==
所以α粒子的德布罗意波长eBRhmvh2==λ故选A
3．关于不确定关系⎟⎠⎞⎜
⎝
⎛=≥∆⋅∆
π2
hpxxℏℏ
有以下几种理解：
(1)粒子的动量不可能确定(2)粒子的坐标不可能确定(3)粒子的动量和坐标不可能同时确定(4)不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子其中正确的是：[](A)(1)、(2)(B)(2)、(4)(C)(3)、(4)(D)(4)、(1)
解：由不确定关系式意义知(3)、(4)正确。故选C4．波长λ=5000Å的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量∆λ=10-3Å，则利用不确定关系式hxpx≥∆∆可得光子的x坐标的不确定量至少为[](A)25cm(B)50cm(C)250cm(D)500cm
padRθ0www.zhinanche.com
解：根据德布罗意公式有p=h/λ则2/λλ∆∆=hp
x
代入不确定关系式hpxx≥∆⋅∆有λλ∆∆≥/2x
故光子的x坐标的不确定量至少为min
x∆λλ
∆=/2)1010/()105000(103210−−−××=
=2.5m=250cm故选C
5．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()axaaxax≤≤−⋅=23cos1πψ
那么粒子在3/2ax=处出现的概率密度为[](A)a21(B)a
1
(C)a21(D)a
1
解：由波函数物理意义有任意位置概率密度()axax23cos122πψ=
将3/2ax=代入，得3/2ax=处出现的概率密度()aaaax13223cos122=⋅=πψ故选B
二、填空题：1．在B=1.25×10-2T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的α 粒子
的德布罗意波长是__________________。(普朗克常量h=6.63×10-34J·s，基本电荷e=1.60×10-19C)
解：由BvqF���×=和RvmFn2=，有α粒子运动动量eBRmvp2==
所以α粒子的德布罗意波长eBRhmv
h
2==λ
nm00.1A100.0)m(10998.01066.11025.11060.121063.611221934==×=×××××××=−−−−
−�
2．热中子平均动能为kT23。则当温度为K003时，一个热中子的动能为J，相应的德布罗意波长为。(波尔兹曼常数123KJ10381−−⋅×=.k，普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h，中子质量kg1067.127−×=m)www.zhinanche.com解：一个热中子的动能为(J)1021.63001038.123kT232123−−×=×××==kE
相应的德布罗意波长kmE
hph
2==λ
nm6.14)m(1046.11021.61067.121063.610212734=×=×××××=−−−
−
3．静质量为em的电子，经电势差为12U的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝。
解：若不考虑相对论效应，电子的动能2122
1vmeUEek==
故电子的动量122eUmvmpee==
其德布罗意波长为�A25.12nm5.1222121212UUeUmhphe=≈==λ
4．如果电子被限制在边界x与xx∆+之间，5.0=∆xÅ则电子动量的x分量的不确定量近似地为-1smkg⋅⋅。(不确定关系式hpxx≥∆⋅∆，普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h)
解：由不确定关系式hpxx≥∆⋅∆得电子动量的x分量的不确定量近似地为()1231034smkg1033.1105.01063.6−−
−
−⋅⋅×=××=∆≥∆x
hpx
5．设描述微观粒子运动的波函数为()tr,�ψ，则*ψψ
表示；
()tr,�ψ须满足的条件是；
其归一化条件是。解：*ψψ表示微观粒子在t时刻在空间(x,y,z)处单位位体积内出现的概率；()tr,�ψ须满足的条件是单值、有限、连续；
其归一化条件是1ddd2=⋅∫∫∫∞zyxψ。w
ww.zhinanche.com三、计算题：1．如图所示，一电子以初速度-160sm100.6⋅×=v
逆着场强方向飞入电
场强度为E=500V⋅m-1的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d，可使得电子的德布罗意波长达到1=λÅ。(飞行过程中，电子的质量认为不变，即为静止质量
kg1011.931−×=em
，基本电荷C1060.119−×=e；普朗克常量
sJ1063.634⋅×=−h
)
解：由德布罗意公式vmhphe==λ，得电子飞行的末速度()16103134sm1028.7101011.91063.6−
−−
−⋅×=×××==λem
hv
电子飞行的加速度()2133119sm1078.81011.9500106.1−
−
−⋅×=×××==
em
eEa
由运动学公式advv2202=−得电子在电场中要飞行的距离()()()m1066.91078.82100.61028.722132626202−×=×××−×=−=
a
vvd
2．同时测量能量为1keV的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm()m10nm19−=
内，则动量的不确定值的百分比pp/∆至少为何值?
(电子质量kg1011.931−×=em，J1060.1eV119−×=，普朗克常量
sJ1063.634⋅×=−h
)
解：电子的动能()J106.1keV116−×==kE，又ekmpE22=，得电子的动量大小
de0
v
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()1231631smkg1071.1106.11011.922−−−−⋅⋅×=××××==
keEmp
根据不确定关系ℏ≥∆⋅∆xpx，得动量不确定量
()124934smkg1006.1101.014.321063.6−−
−
−⋅⋅×=×××=∆≥∆xp
ℏ
所以有动量的不确定值的百分比pp/∆至少为%2.6062.01071.11006.12324==××=∆−−
pp
或根据不确定关系hpxx≥∆⋅∆，得动量不确定量()124934smkg1063.6101.01063.6−−
−
−⋅⋅×=××=∆≥∆xp
ℏ
所以有动量的不确定值的百分比pp/∆至少为%8.38388.01071.11063.62324==××=∆−−
pp
3．粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()axaxnaxn<<⎟⎠⎞⎜⎝⎛=0sin2πψ
若粒子处于n＝2的状态，在aa~43区间发现粒子的概率是多少?[提示：Cxxxx+−=∫2sin4121dsin2]
解：任意位置概率密度()axaxπψ2sin2222=，则所求区间aa~43发现粒子的概率()∫∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝
⎛⋅===aaaaaaxaxaaxaxaxxP4324324322a2d2sin22d2sin2dππππ
ψ