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. 资料. .. . §12.3 .含参变量的积分

教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则．

教学要求

(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．

(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．

一、含参变量的有限积分

设二元函数(,)fxu在矩形域(,)Raxbu有定义，[,],u一元函数(,)fxu在[,]ab可积，即积分

(,)bafxudx

存在.[,]u都对应唯一一个确定的积分（值）(,)bafxudx.于是，积分(,)bafxudx是定义在区间[,]的函数，表为

()(,),[,]baufxudxu

称为含参变量的有限积分，u称为参变量.

定理1.若函数(,)fxu在矩形域(,)Raxbu连续，则函数()(,)baufxudx在区间[,]也连续.

★说明：若函数(,)fxu满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.

定理2 .若函数(,)fxu与fu在矩形域(,)Raxbu连续，则函数()(,)baufxudx在区间[,]可导，且[,]u，有

(,)()badfxuudxduu，

或 (,)(,)bbaadfxufxudxdxduu.

简称积分号下可微分. . . . .

. 资料. .. . ★说明：若函数(,)fxu满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.

定理3 .若函数(,)fxu在矩形域(,)Raxbu连续，则函数()(,)baufxudx在区间[,]可积，且

(,)(,)bbaafxudxdufxududx.

简称积分号下可积分.

★说明：若函数(,)fxu满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.

一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即

(),()aaubbu.但[,]u，对应唯一一个积分（值）()()(,)buaufxudx，它仍是区间[,]的函数，设 ()()()(,),[,]buauufxudxu.

下面给出函数()u在区间[,]的可微性.

定理4.若函数(,)fxu与fu在矩形域(,)Raxbu连续，而函数()au与()bu在区间[,]可导，[,]u，有

(),()aaubabub，

则函数()()()(,),[,]buauufxudxu在区间[,]u可导，且

()''()(,)()[(),]()[(),]()buaudfxuudxfbuubufauuauduu

二、例（I）

例1. 求函数1220()ln()Fyxydx的导数(0)y

解：0y，暂时固定，0，使1y，显然，被积函数

22ln()xy与22222ln()yxyyxy

在矩形域1(01,)Rxy都连续，根据定理2，有

11'2222002()ln()yFyxydxdxyxy . . . .

. 资料. .. . 11200122arctan2tan1xdyxatrcyyxy.

因为0,0,y使1y，所以0y，有

'1()2tanFyatrcy.

例2 .求0()ln(1cos),1Irrxdxr.

解：:1rr，暂时固定，0k，使1rk，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即

(,)ln(1cos)fxrrx 与 cos1cosfxrrx

在矩形区域(0,)Rxkrk连续，根据定理2 ，有

'00cos()ln(1cos)1cosxIrrxdxdxrrx

=0011cos111(1)1cos1cosrxdxdxrrxrrx

01.(0)1cosdxrrrrx

设tan2xt（万能换元），有

222222111cos(1)(1)11dxtdtdttrxrrtrt

=22221arctantan111211dtrxCrrrrtr

从而，

220021arctantan1cos1211dxrxrxrrr.

于是， 2'().(0)1Irrrrr （3）

又有 '200lim()lim01rrIrrrr. . . . .

. 资料. .. . 将'()Ir在0r做连续开拓.令'(0)0.I函数'()Ir在区间[,]kk连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有

2211()()(lnln)1rIrdrrCrrrr

2ln(11)rC.

已知'(0)0.I，有 1ln2ln2C.

于是 ， 22111()ln(11)lnln22rIrr.

例3 .证明：若函数()fx在区间[,]ab连续，则函数

11()()(),[,](1)!xnayxxtftdtxabn

是微分方程()()()nyxfx的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0nyayaya.

证明： 逐次应用定理4，求函数()yx的n阶导数，有

'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!xnnayxnxtftdtxtfxxnn

=21()()(2)!xnaxtftdtn，

''31()()(),(3)!xnayxxtftdtn

(1)()(),xnayxftdt

()()()nyxfx，

即函数()yx是微分方程()()()nyxfx的解，显然，当xa时，

'()()0,()0,()0nyayaya.

例4. 证明：若函数()fx存在二阶导数，函数()Fx存在连续导数，则函数

11(,)[()()]()22xatzatuxtfxatfxatFzdza . . . .

. 资料. .. . 是弦振动方程22222uuatx的解.

证明：根据定理4，有

''11[()()()][()()()]22ufxatafxataFxataFxatata

''1[()()]['()()]22afxatfxatFxatFxat

22"'''2[()()][()()]22uaafxatfxatFxatFxatt

''11[()()][()()]22ufxatfxatFxatFxatxa

2""''211[()()][()()]22ufxatfxatFxatFxatxa

于是，22""''211[()()][()()]22uafxatfxatFxatFxatxa

222uax

即(,)uxt是弦振动方程22222uuatx的解

例5 .求积分10,0lnbaxxdxabx.

解法一 应用积分号下积分法.

解： 函数()lnbaxxyxx的原函数不是初等函数，函数()yx在0与1没定义，却有极限

0lim0lnbaxxxx.

11111limlimlim()1lnbababaxxxxxbxaxbxaxbaxx.

将函数()yx在0与1作连续开拓，即 . . . .

. 资料. .. . 0,0,(),01,ln,1.baxxxyxxxbax

从而，函数()yx在区间[0,1]连续.已知

()lnlnbbaybyaaxxxyxxdyxx

而函数(,)yfxyx在闭矩形域(01,)Rxayb连续，根据定理3，有

111000lnbabbyyaaxxdxxdydxxdxdyx

1101ln111ybbaaxdybdyyya.

解法二 应用积分号下微分法.

解： 设 10(),lnyaxxydxaybx

根据定理2，有

'11110001()ln11yayyyxxxydxxdxxyy.

两端求不定积分，有

()ln(1).1dyyyCy

令 ya，有

()0ln(1)aaC，即 ln(1).Ca

于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1yyyaa

令 yb，有

101()ln.ln1baxxbbdxxa

三、含参变量的无穷积分 . . . .

. 资料. .. . 设二元函数(,)fxu在区域(,)Daxu有定义。[,]a，无穷积分(,)afxudx都收敛，即[,]u都对应唯一一个无穷积分（值）(,)afxudx.于是，(,)afxudx是区间[,]的函数，表为

()(,),[,]aufxudxu，

称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u是参变量.

定义 设uI，无穷积分(,)afxudx收敛，若000,(0,,,AAAuI通用）有

(,)(,)(,)AaaAfxudxfxudxfxudx

则称无穷积分(,)afxudx在区间I一致收敛。

例6 .证明：无穷积分dxuexu0在区间[a,b](a>0)一致收敛.

证明：设0A,求无穷积分（将u看做常数）

xuAuedx

设1,,xutdxdtu有

1xuttAaAAaAauedxuedtedteu

已知,aub有

xuAuAaAuedxee

0,使不等式Aae成立，解得11lnAa。取011ln.Aa

于是，00110,ln,,[,],AAAuaba有

xuAaAuedxe

即无穷积分0(,)fxudx在区间[,]ab一致收敛.

定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分0(,)fxudx在区间I一致收敛

0(,)fxudx010200,0,,,AAAAAuI与，有21(,)AAfxudx.

定理6 .若0,,,BxBuI有 (,)()fxuFx，且无穷积分()aFxdx收敛，则无穷积分0(,)fxudx在区间一致收敛。