ca
ac
例2 求定积分
1 x2 x
I 0
dx. ln x
解 这里被积函数在 x 0及x 1 处无定义.但易求出
lim x2 x 0 且 lim x2 x 1.
x00 ln x
x10 ln x
因此，x 0及x 1 是被积函数的第一类间断点.经过补 充定义后，被积函数在[0,1]上是连续的.所以，上述积
lim
y y0
g(
y)
g(
y0
)
即
b
b
b
lim
y y0
a
f (x, y) dx
a
f (x, y0) dx
a
lim f (x, y) dx
y y0
也就是说在定理的条件下，极限运算和积分运算可以 交换次序，或者说极限运算可以通过积分号。
例1
求
lim
1
x
arctan dx.
y1 0
y
解 被积函数在闭矩形域：{( x, y) | 0 x 1,1 2 y 2}
b
a
lim
y0
f y (x,
y
y) dx
b
a fy (x, y) dx
定理证毕.
例3 求定积分
I (r) ln(1 2r cos x r 2 )dx (| r | 1).
解
0
不难看出当 |
r
| 1时 | 1
r2
| 1,因而1 2r
cos
x
r2
0,
2r
即被函数当0 x .1 r 1时有定义. 我们取正数 q使得 :
分仍是正常积分.另外，由
则
2 x ydy
x2 x
(0 x 1),
1
ln x
I
1
dx
2 x ydy
01
由于函数 x y 在 [0,1][1,2]上是连续函数.故由定理2知 上述累次积分可交换次序，即有
I
1
dx
2 x ydy
2
dy
1 x ydx
2
dy
ln 3 .
01
1
0
1 y 1 2
定理 3 设 f (x, y) 和 f y (x, y) 都在矩形 [a,b; c, d] 上连续，
则
g( y)
b
f (x, y) dx
b
f (x, y) dx
y
y a
a y
即求导运算与积分运算可以交换次序，或者说微分运算 可以通过积分号.
证明 y [c, d] 要证
lim g( y y) g( y)
dx
lim
t
0.
xt etx 2
x
lim
t
x 2 etx 2
y 0 y0 2
0.
定理 2 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
在c , d 可积且有
d
bd
g( y)dy f (x, y)dy dx
c
ac
db
bd
即 dy f (x , y)dx dx f (x , y)dy 。
y0
y
b
a f y (x, y) dx
因为
g( y y) g( y) b f (x, y y) f (x, y) dx
y
a
y
由拉格朗日中值定理，有
于是
f
(x,
y y) y
f
(x, y)
f y (x,
y
y)
g( y y) g( y)
lim
y0
y
lim y0
b a
fy (x, y y) dx
上连续，所以当 y [1 2, 2] 时可在积分号下求极限，即
lim
1
arctan
x
dx
1
lim
arctan
x
dx
y1 0
y
0 y1
y
1
arctan xdx
1 ln 2.
0
42
注意：在积分号下求极限是有条件的，就是二元函
数 f (x, y)在R：[a,b][c, d ] 上连续时， 才可以作.下面的例
| r | q 1. 显然函数 ln(1 2r cos x r 2 )及函数
b
g( y) a f (x, y) dx
是 [c, d ] 上的连续函数。
证明： y [c, d]
要证 lim[g( y y) g( y)] 0 y0
b
b
g( y y) g( y) a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
b
a [ f (x, y y) f (x, y)]dx
设 f (x, y) 在闭 矩形域 [a,b; c, d] {(x, y) | a x b, c y d}
上连续。把 y 固定，函数 f (x, y) 成为 x 的一元函数，
若这个函数在 [a, b] 上可积，则
b
g( y) a f (x, y) dx
是一个与 y 有关的数，它是 y 的函数，其定义域
为 [c, d ] 。 称积分
b
a f (x, y) dx
为含参变量的正常积分，参变量是 y 。
d
类似地称 J (x) f (x, y) dy c
为含参变量 x 的积分。
I ( y) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我
们研究这种函数的连续性，可微性与可积性等定理。
定理 1 设 f (x, y) 在闭矩形域 [a,b; c, d] 上连续，则
11-2 含参变量的正常积分
我们经常遇被积函数含参变量的定积分，如
e1 x2 sin dx 与 0
0
sin x x
dx等，
其中 与 是参变量.显然，这种定积分的值依赖于参
变量，并且是参变量的函数. 一般说来，我们无法将
这种积分表示成参变量的初等函数.然而我们却需要知 道这种函数的性质：如是否连续？是否可导？如何求 它们的导数与积分？等等.
子说明积分号下求极限并不成立：
lim
y0
1 0
x y2
e
x2 y2
dx
1
lim
0 y0
x y2
e
x2 y2
dx.
事实上，有
lim
1
x
e
x2 y2
dx
lim
1
(1
e
1 y2
)
1.
y y0 0 2
y0 2
2
对于任意固定的 x, 我们有
从而
lim
y0
x y2
1
lim
e
e
x2 y2
oxy平面上的投影为 R. 函数值
b
g( y) a f (x, y) dx
是固定y时图中所示截面之面积 .当y连续变动时，这个截 面
面积也在连续变动 . 说明 g( y) 在 [c, d ] 上连续。
定理1说明：当二元函数 f (x, y)在R 上连续时， g( y)在[c, d ]
上也连续，即对任意 y0 [c, d ], 有
b
| g( y y) g( y) | a | f (x, y y) f (x, y) |dx
定理 1 设 f (x, y) 在闭矩形域 R :[a,b][c, d ] 上连续，则
b
g( y) a f (x, y) dx
是 [c, d ] 上的连续函数。
几何说明： 将u f (x, y)视作空间中一张曲面 ， 它在