分别关于 y 及 x 在任意有穷区间 c , d 及 a , b 上
一致收敛, 并且两积分


a
f ( x, y) dx , c y , f ( x, y) dy , a x ,
及
c


a
dx

c
f x, y dy 及
dy

a
f x, y dx
中至少有一个存在, 则以下两积分 都存在 且相等,


a
dx

c
f x, y dy

dy

a
f x, y dx
亦即可交换积分次序. 定理6可推广到无穷瑕积分的情况如下:
定理6’： 设函数f ( x, y) 在区域 a, c, 上连续， 又设二个参变量积分
根据一致收敛的柯西收敛原理 sin x e ax dx在 0 a 上一致收敛. 0 x
sin x ax 1 ax e dx e sin xdx , x A A
其中 A A,
一致收敛积分具有如下性质：
定理4： 设函数 f ( x, y) 在区域 {( x, y) | a x , c y d} 连续，
A
x 0 不是瑕点.
证法1 0 sin xdx 1 cos A 2,
e ax 在 x 0时关于 x 递减, x 且当 x 时它关于 a 0 a 一致趋于0, e ax 1 0 a , x 0时,0 x x 所以由狄利克雷判别法知
a
f y ( x, y) dx 在c, d 上一致收敛，
g ( y)
a
则含参变量的无穷积分
f ( x, y) dx
在c, d 上可导且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
定理6： 设函数f ( x, y) 在区域 a, c, 上连续， 又设二个参变量积分
11－3 含参变量的广义积分 本节研究形如



a
b
f ( x, y) dx
a
f ( x, y) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性， 以及与之相关的特殊函数。 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与 论证方法上极为相似，学习时应注意比较。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
且在集合 X 上一致有界；
（2）级数
b ( x)
n 1 n
n 1 n

在 X 上一致收敛；
n
则函数项级数
a ( x)b (x)
在 X 上一致收敛。
例 证明


0
sin x ax e dx 在 0 a 上一致收敛. x
sin x ax lim e 1, x 0 x
2 2
I e
0

du ue
0

u 2t 2
dt.
并且
(1)
2 1 t
2


0
ue
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1

即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1

则它也在 X 收敛,但反之不成立。
含参变量无穷积分一致收敛的判别方法：

c

c
dy

a
f x, y dx
中至少有一个存在, 则以下两积分 都存在 且相等,


a
dx

c
f x, y dy

dy

a
f x, y dx
亦即可交换积分次序.
例 求 I 0 e 解

x2
dx.
u 2t 2 u 2 du u e dt e du 0
内一致收敛。
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f ( x, y) , g ( x, y) 满足： （） 1 y Y ,当x充分大后函数 g ( x, y) 关于 x 单调且
g ( x, y) 0 ,
A a
y Y , x ,
（2） A a, 积分 f ( x, y)dx 存在且对 y Y 一致有界,
A
f x, y A dx l ,
则无穷积分在 Y 上不一致收敛.
序列的一致收敛 定义： 若函数序列 fn ( x) 在集合 X 上收敛于极限函数 f ( x)。
且 0, 存在与 x X 无关的序号 N=N( )，满足
只要 n N，就有
fn ( x) f ( x) ， x X ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:

(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。

n
的任意部分和序列有界， 即存在常数 M>0 使
b
k=1
n
k
M,
n 1, 则级数
a b
n 1

n n
收敛。
对函数项级数（Dirichlet 判别法）
若函数项级数
a ( x)b ( x)
n 1 n n

满足：
(1)序列 an ( x) 对于固定的 x X 关于 n 单调 且 an ( x) 0 ,
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分

a
f ( x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的
充要条件是： 0 , 存在与 y 无关的常数 N , 使得
A N , A N , y Y , 都有
定理1：设当 y Y 时,A a, f x, y 在 a, A 上可积,
dx f ( x, y)dy 。
a c
定理5： 设函数 f ( x, y) , f y ( x, y) 在区域
{( x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g ( y)
又积分
a
f ( x, y) dx
在c, d 上点点收敛，


只要 A N , 则有


A
f ( x, y0 )dx
f ( x, y )dx g ( y )
0 0 a
A
。
定义 设无穷级数 g y a f x, y dx 对于区间 Y 中的

一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
n 1 n 1
例1


0
e
x
sin x dx
在
[0 ,) (0 0)
内一致收敛. 解:
|e
x
sin x | e
0 x
x 0 , 0 ,
收敛，
而积分

x 0
0
e
dx
e
0

x
sin x dx
在 [0 ,) (0 0)


0
sin x ax e dx 在 0 a 上一致收敛. x
证法2
由积分中值定理: 当 A A 0 时,
A

ax
A
a sin x cos x ax e , e sin x 的原函数是 F x 2 1 1 2 1 显然,当 a 0, x 0 时, F x 2 2 2 2, 1 1 1 故当 A A 0, 0 时, A sin x 4 1 ax , e dx F F A A x A A
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，

则在 c , d 上定义了一个函数

a
g ( y)

a
f ( x, y)dx ,
c yd ,
称其为含参变量的无穷积分。
若 y0 c , d , 则 g( y0 ) 收敛， 即 0 , N N ( , y0 )
在 I 0 e dx 中令 x ut , 其中 u 为任意正数,
x2

I u e
0
2

u t
2 2
dt. Ie
u 2
u 2
等式两边对 u 从0 到 积分,得

0
是非负的连续函数, ue 1t u 1 及 ue du
1 t 2 u 2
则称函数序列 fn ( x) 在集合 X 上一致收敛于极限函数 f ( x)。
记为 fn ( x) f ( x) , x X , n 。
函数项级数的一致收敛 定义： 设 un ( x) 为集合 X 上函数项级数，令 sn ( x) uk ( x) ,
若函数序列sn ( x) 在集合 X 上一致收敛,
n 1
x X ,
n,
（2）级数 bn ( x) 的任意部分和序列在 X 上一致有界，即