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2.等效质量法
基本思想：用一个等 效单质点体系代替原 来的多质点体系。 等效原则为： 1)等效单质点体系与 原多质点体系的基本 自振频率相等； 2)等效单质点体系自 由振动的最大动能与 原多质点体系自由振 动的最大动能相等。
建筑结构抗震
建筑结构抗震
多质点体系按第一振型振动的最大动能U1max
2579.5 1200 0
K
12
M
•
X1
1200
1484.6
600 •X1 0
0 600 389.8
1
X1 0.648
0.301
第一振型
同样可得
K22M •X 2 0
1
X
2
0.601
0.676
建筑结构抗震
K 32M •X3 0
1
X 3 2.57
2.47
第二振型
第三振型
五、结构周期的计算
其中
x 1 t x 2 t
x
t
＝
x
i t
x

n
t
q1 t q 2 t
qt
＝
q
i t
q n t
X＝X1 X2 X建n筑结构抗震
假定阻尼矩阵 C 可表示为
C＝0 M 1K
体系原运动方程
Mxt 0M1K xt Kxt＝－MIxgt
将 xt＝Xqt 代入上式，并左乘振型矢量XTj 得
XTj M X qtXTj 0M1K X qt
建筑结构抗震
m1 0
0 m2
x1(t) x2 (t)
k1 k2
k
2
k2 k2
x1 x2
(t) (t)
0m1
0 xg (t)
m2
xg (t
)
M x(t) K x(t) M Ixg (t)
考虑阻尼时
M x(t) Cx(t) K x(t) M Ixg (t)
采用瑞雷阻尼假定
C 0M 1K
建筑结构抗震
(i＝1，2， ，n)
由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值
P67、69、70例题
2.利用Matlab编程求解
K 2M 0
2
K
M 1 ＝
012
0
0
2 2
0
0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
2 n
3.矩阵迭代法（stodola法）
建筑结构抗震
建筑结构抗震
XTj
K
Xqt＝XTj
KXj q
j
t
＝
2 j
XTj
MXj
q
j t
XTj
0 M 1 K
Xqt＝0
1
2 j
XTj MXj qj t
将上述各式代入式（4.23），并除以系数 XTj MXj 得
分解后的运动方程
qjt
0
1
2 j
qj t
2 j
q
j
t
＝－
jxg t
式中
＝
j
x11(t) X11
k2
位移比值
x22 (t) X 22 k1 k2 m122
x21(t) X 21
k2
仍为常数
体系运动的组成：包含所有的频率和振型
x(t
)
xx12((tt))
X X
11 12
sin(1t
1
)
X X
21 22
sin(
2t
2
)
建筑结构抗震
1)多自由度运动方程的特点——耦联的微分方程; 2） 质点的运动包含所有振型频率 ; 3）各主振型之间具有关系？
建筑结构抗震 振型的正交性：任意两个不同主振型之间互相正交
频率方程
(Ki2M)Xi 0
(K j2M )Xj 0
X
T j
左乘(4.12)
X
T j
(Ki2M )Xi
0
转置变换
X
T i
(K
T
i2M T )X j
0
X
T i
(K
i
2
M
)X
j
0
XTi 左乘(4.13)
X
T i
(K
j
2
M
)X
j
0
式(4.15) － 式(4.16)
K 1.2 1.8 0.6 106 N / m
0 0.6 0.6
K2M 0
1 14.5rad / s 2 31.3rad / s 3 46.1rad / s
T1 0.433s T2 0.202s T3 0.136s
建筑结构抗震 为求解第一振型，将w1=14.5 rad/s代入下式
X 11
k2
X 22 k1 k2 m122
X 21
k2
特点：位移幅 值的比值为常 数
2.对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系
x11 x12
(t) (t)
X X
11 12
sin(1t
1
)
x21 x22
(t) (t)
X X
21 22
s
in(
2
t
2
)
建筑结构抗震
x12 (t) X12 k1 k2 m112
而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载所产生的
假想顶点位移 如对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬
臂杆
ml 4
T1 1.78 EI
将重力荷载作为水平荷载产生的悬臂杆顶点位移uT
mgl 4 8EI
剪切型悬臂杆
T1 1.78
8uT g
1.6
uT
弯曲型悬臂杆 T1 1.8 uT
弯剪型悬臂杆 T1 1.7 uT
•矩阵迭代法的迭代步骤如下：
（型1，）上先标假0定表一示个初试 始探 迭振 代型 振型X。10（）其，中代下入标式1表（示b）第得一振
D
X
0 1
1
X
1 1
Xˆ
1 1
建筑结构抗震
（c）
（2）一般说 X和11 是X不10 一样的（除非 是真X10实的
振型）。再将 代入式X1（1 b）得到
建筑结构抗震
x1 t＝q1 tX11 q 2 tX21 x 2 t＝q1 tX12 q2 tX22
坐标变换x1(t)和x2(t) q1(t)、 q2(t)
2)振型乘以组合系数叠加
将实际位移按振型加以分 解，故称为振型分解法。
二、多自由度体系振型分解 •振型分解式
xt ＝Xqt
建筑结构抗震
•将质点地震作用下任一时刻的位移用其振型的线性组 合表示
体系的运动包含若干个频率的振动，不同频率运动之 间的关系？
建筑结构抗震
四、多自由度体系的振型
建筑结构抗震
振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系
1.对应某一自振频率各质点位移幅值的比值
频率方程
1 ——X11、X12
2 ——X21、X22
(K
2
M
)
X X
1 2
0
X12 k1 k2 m112
建筑结构抗震
X2(t)
-m2X2
m2
h2
k2
X1(t)
K2(X2-X1)
K2(X2-X1)
m1
-m1X1
h1
k1
k1X1
(a)
(b)
(c)
两个自由度的层间剪切模型计算简图
1. 质点的运动
建筑结构抗震
地面运动加速度: xg (t)
质点相对加速度: x1(t)
x2 (t)
质点绝对加速度: x1(t) xg (t) x2 (t) xg (t)
1 2
n i 1
mi (1 xi
)2
等效单质点体系的最大动能
U 2 max
1 2
meq (1 xeq )2
U1max U 2max
n
mi xi2
meq
i1
xe2q
连续质量体系 弯曲型悬臂结构 meq 0.40ml
剪切型悬臂结构 meq 0.25ml
弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。
等效单质点体系的频率
2. 质点1的运动方程
建筑结构抗震
惯性力
f I1 m1[x1(t) xg (t)]
恢复力
f S1 f11 f12 k1x1(t) k2 x2 (t) x1(t)
平衡方程
fI1 fS1 0
质点1运动方程
m1x1(t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) m1xg (t)
12
XTK XTM
X X
Gi X1i g Gi X1i g Giui
i1 n
i1 n
i1 n
mi
X
2 1i
Gi
X
2 1i
Giui2
i 1
i 1
i 1
T1
2 1
2
g
建筑结构抗震
n
Gi
X
2 1i
i 1 n
2
Gi X1i
i 1
n
Giui2
i 1
n
Giui
i 1
ui将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点i处的水平位移
2
k1k2 m1m2
0
( 2 )
1
k1
k2
k2
2
m1
m2
k1 m1
k2 m2
2
k2 m1
2k1 m1