2013届江苏省东台市安丰中学高三上学期期中考试数学试题东台市安丰中学2012—2013学年度第一学期高三数学期中试卷(第?卷)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上) ((((((((1、=________________ cos600:2、设集合，________. Mmm,,,,,{|32}ZNnnMN,,,,{|13}Z??，则:2，i3、若将复数表示为是虚数单位的形式，则。
ab，,iabiabR，,(,,)12,ix,2,0x,4、已知函数f(x),，若f (a)，f (1),0，则实数a的值等于( ,xx，,1,0,5、函数单调递减区间是。
,,xx2lnfx()π3π6、已知，，则 _______ ( cos,,,,,,,(,π)cos()245,,,,,,,,7、已知||=3，||=4，(+),(+3)=33，则与的夹角为 ___________ ( abababab8、等比数列{}的前n项和为,已知成等差数列，则等比数列{}的公比为aSSSS,2,3ann123n______1,29、已知函数.则函数在区间上的值域[0,]fx()fxxxxxR()3sincoscos(),,，, 42为____________x10、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和y,,1yxx,,,,2sin(24),x,1等于 (m11、定义在[-4,4]上的偶函数f(x)在区间[0,4]上单调递减，若，则实数的f(1,m),f(m)取值范围是312、已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线都不是曲线的切线，yxax,,3yxb,,，则实数a的取值范围是 _____________ (1213、已知函数f (x),ax，bx，与直线y,x相切于点A(1,1)，若对任意x?[1,9]，不等式4f (x,t)?x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为__________(abD,,14、函数的定义域为,若满足?在内是单调函数,?存在,使DDfx()fx(),, ab,,,ba,在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对fx()yfx,()fxxk()2,,,,,,,k称函数, 那么的取值范围是 ______ (二、解答题:本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
5,,1,,，,, 0,,,15((本题满分14分)已知且( sin(),,,,,, tan21322cos,(1)求的值;1cos,,,(2)证明:. 516、 (本题满分14分)如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE,AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点((1)求证:BD,CE; F E (2)求证:PQ?平面ABCD(Q P A DB Cn17、(本题满分14分)设等差数列的前项和为且( {}aS，aaS，,,349，nn5133 n(1)求数列的通项公式及前项和公式; {}anan(2)设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得{}bb,nnat，n成等差数列,若存在，求出t和m的值;若不存在，请说明理由. (3)mm,,，Nbbb，，12m22xy18、(本题满分16分)已知椭圆E:的左顶点为A，左、右焦点分别为，,,,1(0)ab22ab22F、F，且圆C:过A，F两点( xyxy，，,,,3360122(1)求椭圆E的方程;2π(2)设直线PF的倾斜角为α，直线PF的倾斜角为β，当β,α,时，证明:点 213P在一定圆上((3)直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B,C，点Q为椭圆E上的一点，若直线k,kk,kQB,QC的斜率存在且不为0，求证:为定植。
QBQCQBQC19、(本题满分16分)如图一块长方形区域ABCD，AD,2()，AB,1()(在kmkmπ边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角?EOF始终为，设?AOE,α，4探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S(π(1)当0?α,时，写出S关于α的函数表达式;2π(2)当0?α?时，求S的最大值(4(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间)，且转动的角速度大小一定，设AB边π上有一点G，且?AOG,，求点G在“一个来回”中，被照到的时间(6 F C BG E,D A O(第19题)1ln，x20、(本题满分16分)已知函数. fx(),x(1)若函数在区间上有极值，求实数的取值范围; afx()(,1)aa，2(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围; xkfxxxk()2,,，111(3)当，时，求证:. nN,*n,2nfn()2,，，，,,,，231n,数学?(理科附加题)(满分40分，考试时间30分钟) 21(【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(A(选修4—1 几何证明选讲,ABCAB,AC,ABCAC已知中，,是外接圆劣弧上 D的点(不与点重合)，延长至. BDEA,C，CDE求证:的延长线平分. ADB(选修4—2 矩阵与变换ab3，，，，A,已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α,，属于特征1,,,,,114，，，，1，，值5的一个特征向量为α=(求矩阵A，并写出A的逆矩阵( 2,,1，，C(选修4—4 参数方程与极坐标在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标( ()(02,,,, ?,π),,,2sin,,cos1,QD(选修4—5 不等式证明选讲222abc设均为正数，证明:. ，，,a，b，ca,b,cbca【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(x2kxke.,22. 已知函数f(x)=(k<0) ，，(1)求f(x)的单调区间;1(2)若对于任意的x?(0,+?)，都有f(x)?，求k的取值范围.e223.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满Fx,4yABxoyAF,,FB足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为,( AB ,,,,,,(1) 求:的值; OA,OB(2) 证明:为定值( FM,AB2012—2013学年度第一学期高三数学期中试卷?卷参考答案一、填空题12,,,31、 2、 3、1 4、 5、(0,2) 6、 7、120: {1,0,1},210119131[,,][,3,)a,[2,)8、 9、 10、4 11、 12、 13、{4} 14、222433二、解答题 1,,,222cossin1tan,,1,2223,,224coscossin,,,,,,15、解:(1)=…221,,,5222cossin1tan，，1，2224(6分)512π3π(2)易得，又所以，……(8分) ,,，,, ,,，,,,，,,,，，sin()cos1313221614cos,cos[(，),],,,, 由(1)可得，所以……(14分) ,,,,,,sin655516、aa，,34，,51317、解:(1)设等差数列的公差为d. 由已知得……2分{}an,39a,，2,ad，,817，a,1，,,11即解得……………………4分 ,,ad，,3，d,2.1,,2.故anSn,,,21，. ……6分 nn21n,(2)由(1)知.要使成等差数列，必须，即bbb，，2bbb,，b,n12m21m21nt,，3121m,4，……8分.整理得，……… 11分 m,，32，,，t,13121，，,，ttmtt,2m,7t,3m,5因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，;当时，; 当t,5m,4时，.故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 14分 bbb，，12m2218、解:(1)圆与轴交点坐标为，， xA(23,0),F(3,0)xyxy，，,,,3360222xy 故ac,,23,3，所以，?椭圆方程是:(……………4分 b,3，,1129(2)设点P(x，y)，因为(,3，0)，(3，0)， FF12yy设点P(x，y)，则,tanβ,,,tanα,， kkPFPF12xx，3,32π因为β,α,，所以tan(β,α),,3( 3tanβ,tanα,23y因为tan(β,α),,， 221，tanαtanβx，y,3,23y22所以，y,2y,3( ,,3(化简得x22x，y,322所以点P在定圆x，y-2y,3上(……………10分3C H F E B ,(3)k,k=…………………………………………16分 QBQC419、解:(1)过O作OH?BC，H为垂足( Gπ?当0?α?时，E在边AB上，F在线段BH上(如图?)，4,π此时，AE,，FH,，… 2分 tan,,, O tan()D A 图? 411πS,S,S,S,( ………… 2分 ?,,,,,正方形??OABHOAEOHF1tantan()224ππ?当,α,时，E在线段BH上，F在线段CH上(如图?)，4211此时，EH,，FH,，… 4分 ,3π,,tantan()411，?EF,( ,3πtan,,tan()4,,111,,?S,S,( ?OEF，,,,3π2tan,tan(),,,4,,11ππ,,,,,,,??1tantan(),(0) ,,2244,综上所述， (6)分 ,,,,S,,,111ππ,,，,,,().,,,3π,2tan42,,,,tan(),π11π12,,4,(2)当0?α?时，S,，即S(…… 8分 ,,,,,,,，，,1tantan()2(1tan)，,22421tan4 π2tan,tan,2?0?α?，?0??1(即1?1，?2(??2( ，，,1tan，,1tan4tan,222?S?2,(当,,1时，S取得最大值为2,( ……………… 10分3π3π(3)在“一个来回”中，OE共转了2×,(42ππ其中点G被照到时，共转了2×,(63π则“一个来回”中，点G被照到的时间为(分钟)(……………… 16分 392，,3π21,,，xx(1ln)1ln，xlnx20、解:(1)， x？fx(),22,？,,,fx()xxx,,当时，;当时，; ？x,(0,1)fx()0,x,，,(1,)fx()0,函数在区间(0，1)上为增函数;在区间为减函数 -----------------------3分？fx()(1,)，,当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值. x,1？fx()fx()(,1)aa，a,1,，解得. --------------------5分 01,,a？,a，,11,2(2)由(1)得的极大值为，令，所以当时，函数x,1gxxxk()2,,，fx()f(1)1,gx()2取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，k,,11k,2fxxxk()2,,，gk(1)1,,所以实数k的取值范围是:k,2. ----------10分1ln，x22(另解:，，？fxxxk()2,,，？,，,kxx2x1ln，xlnx2,,，,22xx,1令，所以，当时， hx(),hx(),hx()0,,，,2xx2xx,,当时，;当时， x,(0,1)hx()0,x,，,(1,)hx()0,x,1当时，函数取得极大值为？hx()h(1)2,2k,2当方程有实数解时，.) fxxxk()2,,，？1(3)函数在区间为减函数，而，？fx()(1,)，,11(*,2)，,,,nNnn1 ？，,,ff(1)(1)1n111，即？，，,，1ln(1)1ln(1)lnnn，,,nnn111----------12分？,,，,，,,,，,,lnln2ln1ln3ln2lnln(1)nnn,，，，,,,，1 231n,111即， 1ln2，,，，，,,,，n231n,111而，结论成立. nfnn,,，()1ln？,，，，,,,，nfn()2231n,-----------------16分?卷附加题参考答案及评分标准 A(选修4—1 几何证明选讲解(?)设为延长线上一点 FAD?四点共圆， A,B,C,D? 3分，ABC,，CDF又 ?, 5分 AB,AC，ABC,，ACB且, ?, 7分，ADB,，ACB，ADB,，CDF对顶角, 故, ，EDF,，CDF，EDF,，ADB即的延长线平分. 10分，CDEADB(选修4—2 矩阵与变换3ab33，，，，，，，，解:由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α,可得，,， 1,,,,,,,,,114,1,1，，，，，，，，即3a,b,3; 3分ab11，，，，，，1，，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α,，可得,5， 2,,,,,,，，11411，，，，，，a，b,5即， 6分a,2,23，，,解得即A,， 7分 ,,b,314,，，43，，,,,55,,A的逆矩阵是 10分 12,,, 55，，C(选修4—4 参数方程与极坐标解:以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系22则曲线,,,2sin可化为:xy，,,()11曲线,,cos1,化为x=1, ………………6分22,xy，,,()11 由可得交点坐标(1，1)， ,x,1,,所以交点Q的极坐标是………………10分 (,)24D(选修4—5 不等式证明选讲222222abcabc证明: 3分，，，a，b，c,(，b)，(，c)，(，a)bcabca9分 ,2a，2b，2c222abc即得. 10分，，,a，b，cbca222222ab，ab，ab,a，a，ab，b，b.另证利用柯西不等式 112233123123 abc取代入即证. a,,a,,a,,b,b,b,c,b,a123123bcax122k(x)22. 解:(1)f′…………………………………………2分，，,,xke.k令f′(x)=0，得x=?k.因为k,0，所以f(x)与f′(x)的变化情况如下:x (-?,k) k (k,-k) -k (-k,+?)f′(x) - 0 + 0 -2-1f(x) ? 0 ? 4ke ? 所以f(x)的单调递减区间是(-?,k)和(-k,+?)，单调递增区间是(k,-k).…………6分24k(2) 因为k,0,由(1)知f(x)在(0,+?)上的最大值是f(-k)= .e24k11所以x?(0,+?),f(x)?等价于f(-k)=?, ,eee1解得-?k,0.211故当x?(0,+?),f(x)?时,k的取值范围是,-,0).…………………………10分 ,2e22xx1223.解:设 (,),(,)AxBx124422xx12焦点F(0,1) AF,(,x,1,),FB,(x,,1)？？1244AF,,FB？,,,,xx12,22xx22,21 消得 ,x(,1)，x(1,),0？xx121,,(,1),1244,44,xx12化简整理得 (x,x)(，1),012422xx12 ？yy,,,1？x,x？xx,,412121244(定值)………………………………5分 OA,OB,xx，yy,,3？1212112y,x,(2)抛物线方程为？y,x421122xx()()12过抛物线A、B两点的切线方程分别为和？y,xx,x，y,xx,x，112224241122xx12即和 y,xx,y,xx,122424，,,xx12,,1联立解出两切线交点的坐标为 M,,2,,,,222222，,,,x,xx,xxxxx,,1221？,,.,2,,2121,,,,0=(定值)…10分FMABxx,,212422,,,,。