白鹭洲中学2020学年下学期高一年级第三次月考数学试卷考生注意：试卷所有答案都必须写在答题卷上。

答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有10 题，每题5分，共50分）1. 下列语句中，是赋值语句的为（）A. m+n=3B. 3=iC. i=i²+1D. i=j=3 解：根据题意，A：左侧为代数式，故不是赋值语句B：左侧为数字，故不是赋值语句C：赋值语句，把i2+1的值赋给i．D：为用用两个等号连接的式子，故不是赋值语句故选C．2. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（）A.M>NB. M<NC. M=ND. 无法确定解：由M-N=a1a2-a1-a2+1=（a1-1）（a2-1）＞0，故M＞N，故选B．3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（）A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲 >X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定D．X甲 >X乙；乙比甲成绩稳定解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；乙的成绩分别为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，则易知X甲＜X乙；从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，乙比甲成绩稳定．故选A．4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（）A. B. C. D.解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=12，再把a的值赋给变量b，这样b=5，把c的值赋给变量a，这样a=12．故选：D5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（）A. 20,15,15B. 20,16,14C. 12,14,16D.21,15,14解：系统抽样的分段间隔为50050=10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则分别是003、013、023、033构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人，则356到500中有14人．故选：B．6. 如图给出的是计算12+14+16+…+120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A. i>10 B. i<10C. i>11D. i<11解：∵S=12+14+16+…+120，并由流程图中S=S+12i循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=12+14+16+…+120的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环所以i＞10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i＞10？”．故选A．7.设a、b是正实数，给定不等式：①ab＞2aba b；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+2ab＞2，上述不等式中恒成立的序号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2ab⇒1≥2aba b+⇒ab≥2aba b+．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a-b|⇒a＞|a-b|-b恒成立；③a2+b2-4ab+3b2=（a-2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=1，b=2时，左边=5，右边=4×1×2-3×22=-4∴③不恒成立；④ab+2ab≥22ababg=22＞2恒成立．答案：D8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则a＋b2cd＝x＋y2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案 D9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB的最小值为（）A.32-B.-1C.12 D.1解：∵a、b、c，成等比数列，∴b2=ac，∴cosB=2222a c bac+-=222a c acac+-≥22ac acac-=12．∴cos2B+2cosB=2cos2B+2cosB-1=2（cosB+12）2-32，∴当cosB=12时，cos2B+2cosB取最小值2-32＝12．故选C．10. 给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k，21k-，…，1k，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（）A.4900B.4901C.5000D.5001解：值等于1的项只有11，22，33，…所以第50个值等于1的应该是50 50那么它前面一定有这么多个项：分子分母和为2的有1个：1 1分子分母和为3的有2个：1 2，21分子分母和为4的有3个：13，22，31…分子分母和为99的有98个：198，297，…，981分子分母和为100的有49个：，298，…，397，…，4951．所以它前面共有（1+2+3+4+…+98）+49=4900所以它是第4901项．故选B．二、填空题：（本大题共有5 题，每题5分，共25分）从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y=0.95x+a，则a= 解：点(x，y)在回归直线上，计算得x＝2，y＝4.5；代入得a=2.6；故答案为2.6．12. 已知函数f（x）＝2,02,0x xx x+≤⎧⎨-+>⎩，则不等式f（x）≥x2的解集是解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2-x-2≤0，解得，-1≤x≤2，∴-1≤x≤0；②当x ＞0时；f （x ）=-x+2，∴-x+2≥x2，解得，-2≤x≤1，∴0≤x≤1， 综上①②知不等式f （x ）≥x2的解集是：[-1,1].13. 如果运行下面程序之后输出y 的值是9，则输入x 的值是 输入 xIf x ＜0 Then y=（x+1）*（x+1） Elsey=（x-1）*（x-1） End if 输出 y End解：根据条件语句可知是计算y=(1)(1),0(1)(1),0x x x x x x ++<⎧⎨--≤⎩当x ＜0，时（x+1）（x+1）=9，解得：x=-4 当x≥0，时（x-1）（x-1）=9，解得：x=4 答案:-4或414. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、Cb-c ）cosA=acosC ，则cosA= 解：由正弦定理，知）cosA=acosC 可得）cosA=sinAcosC ，=sin （A+C ）=sinB ，∴cosA=．故答案为：15. 设a+b=2，b ＞0，则12a+ ab 的最小值为解：∵a+b=2，∴2a b+＝1， ∴12a+a b =4a a +4b a +a b ，∵b ＞0，|a|＞0，∴4ba+ab ≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴12a+ab ≥4a a +1，故当a ＜0时，12a+a b 的最小值为34．故答案为：34．三、解答题 （本大题共有6 题，共75 分）16. 已知关于x 的不等式x2-4x-m ＜0的解集为非空集{x|n ＜x ＜5} （1）求实数m 和n 的值（2）求关于x 的不等式loga （-nx2+3x+2-m ）＞0的解集． 解：（1）由题意得：n 和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）545n n m +=⎧⎨=-⎩（3分）15n m =-⎧⎨=⎩（1分）（2）1°当a ＞1时，函数y=logax 在定义域内单调递增 由loga （-nx2+3x+2-m ）＞0 得x2+3x-3＞1（2分） 即 x2+3x-4＞0x ＞1 或 x ＜-4（1分）2°当0＜a ＜1时，函数 y=logax 在定义域内单调递减 由：loga （-nx2+3x+2-m ）＞0得：22331330x x x x ⎧+-<⎨+->⎩（2分）即413322x x x -<<⎧⎪⎨--<>⎪⎩（1分）（1分）∴当a ＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a ＜1时原不等式的解集为：33(4,22--+-U )(（1分）17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分x＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=21018. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为x1，x2，...，x2020，y1，y2 (2020)（1）求出数列{xn}，{yn}（n≤2020）的通项公式；（2）求数列{xn+yn}（n≤2020）的前n项的和Sn．解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤2020）．数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，∴yn+1=3•2n-1，∴yn=3•2n-1-1，（n≤2020）．（Ⅱ）∵xn+yn=3n-1+3•2n-1-1=，（n≤2020）．∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3•2n-1）-n=(231)2n n+-+3•2n-3-n=3•2n+2362n n--（n≤2020）．19. 在△ABC中，∠B=45°，cosC= ，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．解：（1）由cosC＝得sinC＝sinA＝sin(180°−45°−C)＝2(cosC+sinC)＝10由正弦定理知BC＝ACsinB•sinA＝2•＝（2）AB＝ACsinB•sinC＝2•5＝2, BD＝12AB＝1由余弦定理知CD20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t=510050100x⨯-=102x-，y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x•102x-+100x+30000+600002x-y=1250•222xx-+-+100（x-2+2）+30000+600002x-=31450+100（x-2）+625002x -，当且仅当100（x-2）=625002x -，即x=27时，y 有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.21. 各项为正数的数列{an}满足2na ＝4Sn −2an −1（n ∈N*），其中Sn 为{an}前n 项和．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m 、n ，使得向量n a u u v =（2an+2，m ）与向量n b u u v =（−an+5，3+an ）垂直？说明理由． 解：（1）当n=1时，21a ＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1当n=2时，22a ＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3； （2）由2na ＝4Sn −2an −1…①，21n a +＝4Sn+1−2an+1−1…②②-①，得21n a +−2na ＝4an+1−2an+1+2an ＝2(an+1+an)移项，提公因式得（an+1+an ）（an+1-an-2）=0∵数列{an}的各项为正数，∴an+1+an ＞0，可得an+1-an-2=0因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列 ∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；（3）∵向量n a u u v =（2an+2，m ）与向量n b u u v =（-an+5，3+an ）∴结合（2）求出的通项公式，得n a u u v =（2（2n+3），m ），n b u u v=（-（2n+9），2n+2） 若向量n a u u v ⊥n b u u v ，则n a u u v •n b u u v=-2（2n+3）（2n+9）+m （2n+2）=0化简得m=4（n+1）+16+71n +∵m 、n 是正整数，∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使n a u u v ⊥n b u u v 符合题意综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量n a u u v =（2an+2，m ）与向量n b u u v =（-an+5，3+an ）垂直．。