⎪ ⎪⎭
⑹式称为函数 f ( x)的傅立叶系数公式，将这些公式代
入⑸式右端，所得的三角级数
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
称为函数 f ( x) 的傅立叶级数。
定理（收敛定理） 设函数 f ( x) 是周期为2π的周期函
数，如果它满足：
⑴在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点；
第三单元 傅立叶级数
本单元内容要点
本单元讨论如何将一个周期函数展开成三角级数的方 法, 以及展开成正弦级数湖余弦级数的方法.
本单元教学要求
理解三角函数系及三角函数系正交性的意义, 掌握傅
立叶系数的计算方法, 掌握将周期为2π , 2l 的函数展开
成傅立叶级数的方法, 及收敛性的讨论, 掌握将一般函数 在所给定义域上展开成傅立叶级数的方法, 以及展开成 正弦级数与余弦级数的方法.
有
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n = 1, 2,").
由于当 n = 0时，an 的表达式与 a0一致，因此上面的结
果可合并成
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n
=
0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
⑹
(n = 1, 2,").
y
π
−2π −π o π 2π x
=
1
n2π
Hale Waihona Puke cos nxπ 0=
1
n2π
⎡⎣( −1)n
− 1⎤⎦
(n = 1,2,"),
∫ ∫ bn
=
1
π
π f (x)sin nxdx = 1
−π
π
π
x sin nxdx
0
∫ = − 1 x cos nx π + 1
π
cos nxdx
nπ
0 nπ 0
= (−1)n−1 (n = 1, 2,").
⑵在一个周期内，至多只有有限多个极值点，
则 f ( x) 的傅立叶级数收敛，并且
当x是f ( x) 连续点时，级数收敛于 f ( x),
( ) ( ) 当
x是
f
(
x)
的间断点时，级数收敛于
1 2
⎡⎣
f
x−
+f
x+ ⎤⎦.
上面定理的具体意义是下面的关系
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
π0
nπ
0
⎧2
=
1
nπ
⎡⎣1+
(
−1)n
−1
⎤ ⎦
=
⎪ ⎨
nπ
⎪⎩ 0
n = 1,3,5,", n = 2, 4,6,".
将求得的系数代入⑻式，即有
f
(
x
)
=
1 2
+
2
π
⎢⎣⎡sin
x
+
1 3
sin
3x
+
"
+
1 2k −
sin 1
(
2k
−
1)
x
+
"⎤⎥⎦
x ≠ kπ .
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
的表达式为
f
(
x)
=
⎧0
⎨ ⎩
x
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
将 f ( x) 展开成傅立叶级数。
解 函数 f ( x)满足收敛定理的条件，点 x = (2k + 1)π
(k = 0, ±1, 2,") 是它的第一类间断点，因此相应的傅立
叶级数在这些点收敛到
1 2
⎡⎣
f
( −π
+
0) +
l −i
f
( x)sin nπ
l
xdx
(n = 0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
(n
=
1,
2, 3,") .
在区间[−π ,π ] 是正交函数系，即
∫ ∫ π
π
1⋅ cos nxdx = 1⋅ sin nxdx = 0
(n = 1,2,"),
−π
−π
∫π sin kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1,2,"),
−π
∫π cos kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1, 2,", k ≠ n),
n
从而函数 f ( x) 的傅立叶级数为
∑ f
(x)
=
π
4
+
∞ ⎡(−1)n −1
⎢ n=1 ⎢⎣
n2π
cos nx +
( −1)n −1
n
⎤ sin nx⎥ ,
⎥⎦
x ≠ (2k −1)π (k = 0,±1,±2,").
例3 把函数 f ( x) = x ( x ∈[−π ,π )] 展开成傅立叶级数.
⎧ f (x)
=
⎪ ⎨1 ⎪⎩2
⎡⎣
f
(
x−
)
+
f
(
x+
)⎤⎦
当x是f ( x)的连续点，
⑻
当x是f ( x)的间断点.
例1 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
的表达式为
f
(
x
)
=
⎧0 ⎨⎩1
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
把 f ( x) 展开成傅立叶级数。
,
即
1+
1 32
+
1 52
+"+
1
(2n −1)2
+"=
π2
8
.
⑼
令
1+ 1 + 1 +"+ 1 +"=σ,
22 32
n2
则
1 + 1 + 1 +"+ 1 +"
22 42 62
( 2n )2
=
1 4
⎛⎜⎝1
+
1 22
+
1 32
+"+
1 n2
+ "⎞⎟⎠
=
σ
4
,
上两式相减得
π2
8
=1+
1 32
+
1 52
∑ a0
2
+
∞ n =1
⎛ ⎜⎝
an
cos
nπ
l
x + bn sin
nπ
l
x
⎞ ⎟⎠
⑴
在每点收敛，且当 x为连续点时，它收敛到 f ( x)，当 x
是
f
( x) 的间断点，它收敛到 1
2
⎡⎣
f
( x− )
+
f
( x+ )⎤⎦ ,
其中
∫ an
=1 l
l −i
f ( x)cos nπ
l
xdx
∫ bn
=1 l
f
(π
−
0)⎤⎦
=
π
2
,
在其余点收敛到 f ( x)（. 见下图）
∫ ∫ a0
=
1
π
π f ( x) dx = 1
−π
π
π xdx = π ,
0
2
∫ ∫ an
=
1
π
π f (x) cos nxdx = 1
−π
π
π
x cos nxdx
0
∫ = 1 xsin nx π − 1
π
sin nxdx
nπ
0 nπ 0
π −π
sin
kx
cos
nxdx
⎤ ⎥⎦
,
再由三角函数系⑷的正交性，上式为
∫ ∫ π −π
f
( x)cos nxdx = an
π −π
cos2
nxdx
=
anπ
,
于是有
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
(n = 1, 2,").
类似地，用sin nx 乘⑸式两端，再从 −π 到π 逐项积分,
(n = 1,2,"),
∫ b n
=
1
π
π
x sin nxdx = 0,
−π
(n = 1,2,"),
从而得到
f
(x) =
x
=π
2
∑ −
4
π
∞ n =1
1
(2n −1)2
cos ( 2n
− 1)
x,
将 x = 0 代入上式，得
(−π ≤ x ≤ π ).
∑ 0
=
π
2
−
4
π