2019-2020学年贵州省遵义市汇川区汇仁中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列一定是二次函数的是()A. y=x3+2x2+3B. y=1x2C. y=−x2+xD. y=ax2+bx+c2.下列方程是一元二次方程的是()A. y2=2B. 1+x2=(2−x)2=4 D. (m−1)x2−x−1=0C. 3x2−13.抛物线y=2(x+3)2−4的对称轴是()A. 直线x=−3B. 直线y=4C. 直线x=3D. 直线y=−34.关于x的方程(a2−1)x2+x−2=0是一元二次方程，则a满足()A. a≠1B. a≠−1C. a≠±1D. 任意实数5.下列是一元二次方程x2−4=0的解的是()A. x1=x2=−2B. x1=x2=2C. x1=2，x2=−2D. x1=1，x2=36.若2a+3c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是()A. 方程有两个相等的实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程必有一根是0D. 方程没有实数根7.已知x=1是一元二次方程x2−2ax+1=0的一个根，则a的值是()B. 0C. 2或−2D. 1A. 128.已知函数y=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是()A. B.C. D.(k>0)的图象上，则a、b、c的大小关9.已知点A(−3,a)、B(−1,b)、C(2,c)在反比例函数y=kx系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b10.二次函数y=x2+2的图象经过()A. 第三、四象限B. 第二、四象限C. 第二、三象限D. 第一、二象限11.关于x的一元二次方程x2+2x+k2=0有两个相等的实根，则k为()A. 1B. −1C. ±1D. 212.一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.11.一元二次方程x(x+5)=x+5的解为_____．14.k______时，关于x的方程kx2−3x=2x2+1是一元二次方程．15.抛物线y=−x2+4x−1的顶点坐标为_________________．16.如图，抛物线y=−x2+bx+c对称轴为直线x=3，如果点A(0,4)为此抛物线上的一点，那么当x=6时，y=______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5=x2+2⋅x⋅3+32−32+5=(x+3)2−4，∵(x+3)2≥0∴当x=−3时，x2+6x+5有最小值−4．请根据上述方法，解答下列问题：(Ⅰ)x2+4x−1=x2+2⋅x⋅2+22−22−1=(x+a)2+b，则ab的值是______；(Ⅱ)求证：无论x取何值，代数式x2+2√6x+7的值都是正数；(Ⅲ)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．四、解答题（本大题共7小题，共74.0分）18.用适当的方法解下列方程：(1)4x2−3x+2=0(2)(x−1)(x+3)=12(3)x2+3x+1=0；(4)3x(x−2)=2(2−x)．19.先化简，再求值：(3m−2+1)÷3m+3m2−4，其中m=−5．20.已知：关于x的一元二次方程mx2−(3m+2)x+2m+2=0(m>0)，求证：方程总有两个不相等的实数根．21.在“大湖名城、创新高地”的号召下，合肥高新区某企业2017年迎来开门红.1月份产值为500万元，2月、3月份产值逐月上升.第一季度的总产值为1820万元.假设该企业产值的月增长率相同，求2、3月份的月增长率．22.如图所示，抛物线y=x2−4与x轴交于A，B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求点P的坐标．23.阅读下列例题的解答过程：解方程：3(x−2)2+7(x−2)+4=0．解：设x−2=y，则原方程可以化为3y2+7y+4=0，∵a=3，b=7，c=4，∴b2−4ac=72−4×3×4=1>0，∴y=−7±√12×3=−7±16，∴y 1=−1,y2=−43，当y=−1时，x−2=−1，∴x=1；当y=−43时，x−2=−43，∴x=23．∴原方程的解为：x1=1，x2=23．请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x−3)2−5(x−3)+2=0．24.已知：如图，抛物线y1=a(x−ℎ) 2+k与直线y2=k′x+b分别交于x轴和y轴上的点A(−3,0)和点C(0,3)，已知抛物线的对称轴为直线x=−2．(1)请写出点B的坐标，并求抛物线的解析式；(2)观察图象，请分别写出符合下列条件的结论：①当y1<y2时x的取值范围；②在平面内以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，写出点D的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可．【解答】解：A.是三次函数，故A不符合题意；B.等号的右边不是整式，故B不符合题意；C.是二次函数，故C符合题意；D.a=0时不是二次函数，故D不符合题意，故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义，即可解答．【解答】解：A.符合一元二次方程，正确；B.化简后1=4−4x，是一元一次方程，错误；C.未知数在分母上，不是整式方程，错误；D.当m=1时，不是一元二次方程，错误；故选：A．3.答案：A解析：【分析】此题考查了顶点式的性质．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是直线x=ℎ．【解答】解：y=2(x+3)2−4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−3,−4)，对称轴是直线x=−3．故选A．4.答案：C解析：【分析】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得：a 2−1≠0，解得a≠±1．故选C．5.答案：C解析：【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．首先移项，把−4移到等号右边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2−4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，即x1=2，x2=−2，故选C．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查根的判别式．由条件可得到ac<0，则可得出判别式的符号，进而可求得答案．【解答】解：∵2a+3c=0，a≠0，∴ac<0，∴−4ac>0，∴Δ=b2−4ac>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．7.答案：D解析：【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2−2ax+1=0的一个根，∴1−2a+1=0，∴a=1．故选D．8.答案：D解析：解：∵y=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab，∵抛物线的开口向上知a>0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab<0，∵对称轴在y轴的左侧，二次项系数>0，∴−(a+b)>0．∴a+b<0，∵a>b，∴a>0，b<0，∴y=ax+b的图象是D选项，故选D．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=1及x=−1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．9.答案：D解析：解：∵反比例函数y=k中，k>0，x∴此函数图象在一、三象限，∵−3<−1<0，∴点A(−3,a)、B(−1,b)在第三象限，∵函数图象在第三象限内为减函数，∴0>a>b，∵2>0，∴C(2,c)在第一象限，∴c>0，∴a、b、c的大小关系是c>a>b，故选D．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，难度不大，关键是熟练掌握其性质.根据二次函数的解析式得到其图象对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，从而得到其经过的象限．【解答】解：∵y=x2+2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，∴二次函数y=x2+2的图象经过第一，二象限．故选D．11.答案：C解析：【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．把a=1，b=2，c=k2代入Δ=b2−4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，再计算出关于k的方程即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=k2，∴Δ=b2−4ac=4−4×1×k2=4−4k2，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴4−4k2=0，解得k=±1，故选：C．12.答案：D解析：解：A.一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0,c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0,c)，图象不符合，故本选项错误；B.由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，a的取值矛盾，故本选项错误；C.由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，a的取值矛盾，故本选项错误；D.由抛物线可知，a<0，由直线可知，a<0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．13.答案：x1=−5，x2=1解析：【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解的方法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x(x+5)−(x+5)=0，分解因式得：(x+5)(x−1)=0，解得：x1=−5，x2=1，故答案为：x1=−5，x2=114.答案：≠2解析：解原方程可化为：(k−2)x2−3x−1=0∵方程是一元二次方程，∴k−2≠0故k≠2．把方程化成一般形式，由二次项系数不为0确定k的值．本题考查的是一元二次方程的定义，先把方程化成一元二次方程的一般形式，有二次项系数不为0确定k的值．15.答案：(2,3)解析：【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确函数的顶点式，由顶点式可以直接得到顶点坐标，首先对抛物线y=−x2+4x−1进行变形，变成顶点式y=−(x−2)2+3，从而可以得到该函数的顶点坐标，解答本题．【解答】解：∵抛物线y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为：(2,3)．故答案为(2,3)．16.答案：4解析：解：∵抛物线y=−x2+bx+c对称轴为直线x=3，如果点A(0,4)为此抛物线上的一点，∴点A(0,4)和点(6,a)关于对称轴对称，∴a=4，∴当x=6时，y=4，故答案为：4．首先根据对称轴方程确定点A和点(6,a)关于对称轴对称，然后求得其纵坐标的值即可．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定两点关于对称轴对称，难度不大．17.答案：−10解析：解：(Ⅰ)∵x2+4x−1=x2+2⋅x⋅2+22−22−1=(x+2)2−5=(x+a)2+b，∴a=2，b=−5，∴ab=2×(−5)=−10．故答案是：−10；(Ⅱ)证明：x2+2√6x+7=x2+2√6x+(√6)2−(√6)2+7=(x+√6)2+1．∵(x+√6)2≥0，∴x2+2√6x+7的最小值是1，∴无论x取何值，代数式x2+2√6x+7的值都是正数；(Ⅲ)2x2+kx+7=(√2x)+2⋅√2x⋅√24+(√24k)2−(√24k)2+7=(√2x+√24k)2−18k2+7．∵(√2x+√24k)2≥0，∴(√2x+√24k)2−18k2+7的最小值是−18k2+7，∴−18k2+7=2，解得k=±2√10．(Ⅰ)根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；(Ⅱ)先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；(Ⅲ)先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．18.答案：解：(1)4x2−3x+2=0，∵a=4，b=−3，c=2，∴b2−4ac=9−4×4×2=−23<0，∴原方程无实数解；(2)(x−1)(x+3)=12，整理得：x2+2x−15=0，分解因式得：(x−3)(x+5)=0，可得x−3=0或x+5=0，解得：x1=3，x2=−5；(3)x 2+3x +1=0；∵a =1，b =3，c =1，b 2−4ac =9−4×1×1=5>0，∴x =−3±√52×1=−3±√52， ∴x 1=−3+√52，x 2=−3−√52；(4)3x(x −2)=2(2−x)．3x(x −2)+2(x −2)=0，(x −2)(3x +2)=0，∴x −2=0或3x +2=0，∴x 1=2，x 2=−23．解析：(1)首先找出a =4，b =−3，c =2，利用公式法解方程即可；(2)方程整理为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．(3)首先找出a =1，b =3，c =1，利用公式法解方程即可；(4)移项，提取公因式(x −2)，即可得到(x −2)(3x +2)=0，再解两个一元一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19.答案：解：原式=m+1m−2÷3(m+1)(m−2)(m+2)=m+23，将m =−5代入，∴原式=−5+23=−1．解析：根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20.答案：解：△=b 2−4ac =[−(3m +2)]2−4m(2m +2)=(m +2)2，∵m >0，(m +2)2>0，即△>0，∴方程总有两个不相等的实数根．解析：此题考查了根的判别式，当根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式小于0时，方程没有实数根.找出a ，b 及c ，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．21.答案：解：设2、3月份的月增长率为x ，根据题意，得500+500(1+x)+500(1+x)2=1820，整理得x2+3x−0.64=0，解得x=0.2=20%(负值舍去)．答：2、3月份的月增长率为20%．解析：【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．设2、3月份的月增长率为x，则2、3月份的产值分别为500(1+x)、500(1+x)2，根据第一季度的总产值列方程，求解即可．22.答案：解：已知抛物线y=x2−4，令y=0，得x=2或x=−2，即A(−2,0)，B(2,0)，∴AB=4.设点P的纵坐标为b，∵S△PAB=4，∴12×4|b|=4，即|b|=2，解得b=2或b=−2．当b=2时，x2−4=2，解得x=±√6，此时点P的坐标的(√6,2)，(−√6,2);当b=−2时，x2−4=−2，解得x=±√2，此时点P的坐标为(√2,−2)，(−√2,−2)．综上可知点P的坐标为(√6,2)，(−√6,2)，(√2,−2)，(−√2,−2)．解析：【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征及抛物线与x轴的交点问题.先令y=0得方程x2−4=0，解方程求出A，B的坐标，进而求出AB的长，再根据△PAB的面积求出三角形的高，即点P的纵坐标，最后根据二次函数的图象上的点的坐标特征即可求出点P的坐标．23.答案：解：设x−3=y，则原方程化为2y2−5y+2=0，a=2，b=−5，c=2，∴b2−4ac=(−5)²−4×2×2=9，∴y=5±√92×2=5±34，∴y1=2或y2=12．所以x −3=2或x −3=12，解得x =5或x =72．∴原方程的解为：x 1=5或x 2=72解析：考查了换元法和公式法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．设x −3=y ，则原方程化为2y 2−5y +2=0，求出y ，再求出x 即可．24.答案：解：(1)根据题意得抛物线y 1=a(x +2)2+k ，∵抛物线y 1=a(x +2)2+k 与直线y 2=k′x +b 分别交于x 轴和y 轴上的点A(−3,0)和点C(0,3)， ∴{0=a +k 3=4a +k解得{a =1k =−1 ∴抛物线的解析式为y 1=(x +2)2−1，∵点A(−3,0)，抛物线的对称轴为直线x =−2，∴B(−1,0)．(2)①由图象可知当−4<x <0时，y 1<y 2；②∵AB =−1−(−3)=2，∴D(−2,3)或(2,3)．解析：(1)根据抛物线的对称性即可求得点B 的坐标，把点A 、C 的坐标代入抛物线y 1=a(x +2)2+k ，利用方程组来求系数a 、k 的值；(2)①根据函数的图象即可求得；②根据平行四边形的性质即可求得．本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的对称性，待定系数法求解析式，函数的图象和不等式的关系，平行四边形的性质等，熟练掌握二次函数的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．。