（2）两端固定梁
z 0 由边界条件 0; u 0 和 0; u 0
符合上式的变形函数是：
z l 0; u 0 可得： 0; u 0
临界弯矩：
2nz u C1 (1 cos ) l 和 2nz C2 (1 cos ) l
式中
k1 k12 4k 2 、 k1 k12 4k 2 （7） 1 2 2 2
由边界条件 z 0 和 z l 可得： 0; u 0 0; u 0 0; u 0 0; u 0
3.3 横向荷载作用的弹性受弯构件
1.两端简支跨中受集中力
图示跨中受集中荷载作用的两端简支双轴对称截面受弯构 件，荷载通过截面的剪力中 心且作用点至剪心的距离为
by，构件任意截面处的弯矩 Mx为： M 1 P z x y 2 代入绕y轴的弯曲屈曲及 绕z轴的扭转屈曲平衡微分方
程：
1 EI y u Py z Py 0 2 1 EI (GI k R ) Py zu 0 2
EI x v M x
EI y u M x
（1） （2） （3）
EI (GIk R ) 2 y M x M xu
上式中的第（1）式是弯矩作用平面内的弯曲平衡方程， 可独立求解，（2）（3）两式是耦联的，需联立求解。对 （3）式微分一次，得：
M Mmax
M
Mmax
v
u,
3.1 纯弯构件的弹性弯扭屈曲 y x y dA y
2 2 A y
2I x
0
2 2 i0 I x I y / A y0
极回转半径平方
3.1 纯弯构件的弹性弯扭屈曲
图示单轴对称（或双轴对称） 截面受弯构件，在承受沿对称轴作 用的等端弯矩时，可得到三个平面 内的平衡微分方程：
（1）两端简支梁
C2 C4 0
2 12C2 2 C4 0
C1 sinh( 1l ) C2 cosh(1l ) C3 sin( 2l ) C4 cos( 2l ) 0
2 2 12C1 sinh( 1l ) 12C2 cosh(1l ) 2 C3 sin( 2l ) 2 C4 cos( 2l ) 0
2 y
I GI k R 2 M cr y 1 2 l 2 (0.5l ) Iy 4 EI
2 EI y


（3）悬臂杆件
z l 边界条件：u 0 0 nz nz u C1 (1 cos ) 和 C2 (1 cos ) 符合上式的变形函数是： 2l 2l 临界弯矩： 2 EI y I GI k R 2 2 M cr y y 1 2 4l 2 (2l ) Iy EI
M xl 2 nz u C3 2 2 sin n EI y l
取n=1，由前各式可解得弯扭屈曲临界弯矩：
2 EI y I GI k R 2 2 M cr 1 l y y 2 2 l Iy EI

若不考虑残余应力，此式与工程设计原理梁的 整体稳定临界弯矩相同！！
研究生课程
结构稳定理论与设计
东南大学土木工程学院
舒赣平 教授
结构稳定理论与设计
第3章 梁（受弯构件）的弯扭失稳 概 述
受弯构件在荷 载作用下的工作大 体经历两个阶段： （ 1 ）仅平面弯曲 变形； （ 2 ）同时出现侧 向变位和扭转。
同压杆一样，受弯构件的整体稳定分析也有两种方法： （ 1 ）按理想单向受弯构件研究平衡分枝（第 1 类稳定问题）； （2）考虑各种缺陷因素及材料非线形按双向受弯构件研究其 极限承载力（第2类稳定问题）。 1.平衡分枝稳定时的荷载—挠度曲线
M MP Mmax Mcr Mcr 细长杆
强化
M
局部失稳
短杆
中长杆
v
u,
2.考虑几何非线性和材料非线性时的荷载—挠度曲线 当考虑初始缺陷（初弯曲、初扭转、残余应力等）及 材料非线形时，不论构件的长短，均有类似的荷载 — 挠度 曲线，一开始加载即产生弯扭变形并处于双向弯曲的受力 状态。因此其整体稳定承载力须按弹塑性阶段的双向受弯 构件分析。
如果梁的侧向弯曲长细比不是很大，梁在失稳时截面应力 超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。
对焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的残余应力有时高达 材料的屈服强度，当梁一开始受载时，截面就会出现局部范围 的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不 容忽视的影响。求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典 型的截面和典型的残余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值 方法得到梁的临界弯矩。
M cr b

l
EI y GI k 1
2 EI
GI k l
2

当荷载作用在截面形心上时， by=0， 临界弯矩修正系数：
b =1.35
2.悬臂梁自由端受集中力作用
自由端受集中荷载作
用的悬臂梁，当建立起绕
y轴的弯曲屈曲及绕z轴的 扭转屈曲平衡微分方程后，
亦只能用数值方法或能量
法求解，解得的临界弯矩 计算公式为：
M cr b

2l
EI y GI k 1
2 EI
GI k (2l )
2

在其他横向荷载作用下，当同时考虑荷载作用形式、荷载
作用点的位置、端部约束条件及截面不对称影响等诸多因素 时，受弯构件的临界弯矩可统一表达为下列近似公式的形式：
2 EI y I GI k R 2 2 M cr 1 2 2 a 3 y ( 2 a 3 y ) 1 2 l ) l Iy EI
式中 1 —临界弯矩修正系数，取决于荷载作用形式；

2 —荷载作用点位置影响系数；
a —荷载作用点距剪心的距离，剪心之下为正；
3—单轴对称截面修正系数，取决于横向荷载形式； 1 2 2 y y ( x y )dA y0 —截面不对称系数。 2I x A
3.4 受弯构件的弹塑性弯扭屈曲
M cr b

l
EI y GI k 1
2 EI
GI k l
2

式中， b 称为临界弯矩修正系数，与作用荷载有关，在 1.05 0.3 2
M Bx b 0.6 0.4 0.6 0.4 M Ax
（我国钢结构设计规范取 b 0.65 0.35 M 2 ） M1

（5）受等端弯矩作用的双轴对称截面杆件
对H形、箱形等双轴对称截面，因截面不对称常数 y=0， 得临界弯矩：
2 EI y M cr ( yl )2
或
I GI k R 2 2 1 2 l Iy EI

2 EI M cr EI y GI k 2 yl ( l )
EI [GIk 2 y M x R ) ] M xu 0
由（2）式解出u´´并代入（4）得：
（ 4）
M x2 EI (GI k 2 y M x R ) 0 （5） EI y 令： 考虑参与应力影响参数 k1 2 y M x GI k R EI
3.4 受弯构件的弹塑性弯扭屈曲
受等端弯矩（纯弯）作用且截面对称于y轴（即弯矩作用 平面）的受弯构件，在弹塑性阶段的弯扭屈曲微分方程为：
( EI x v)t M x
( EI y u)t M x
（1） （2）
( EI )t (GIk )t R 2 y M x M xu （3）
借用楔形梁的弹性弯扭屈
曲微分方程。
剪 力 中 心 位 置 改 变 对 临 界 弯 矩 的 影 响
2 x
M k2 EI y EI
得：
R r x y dA
2 2 A 2 K Pi0 R
k1 k2 0
Wagner效应系数
（ 6）
（6）式的通解为：
C1 sinh( 1 z) C2 cosh(1 z) C3 sin( 2 z) C4 cos( 2 z)
上述微分方程适用于zl/2，边界条件除利用z=0处外，还
可利用跨中处，即： z l / 2 u 0; EI y u 0 0; EI Py / 2(u0 by 0 ) 以上第 3式为跨中扭矩的边界条件，是由跨中截面的侧向 位移u0和扭转角0引起。方程仍需用数值法或能量法求解，解 得的临界弯矩可表达为下列近似公式：
C1、C2、C3和C4有非零解的条件是其系数行列式为零，即：
0 0 sinh( 1l )
解出得方程：
1
0 0 sin( 2l )
1
2 2
12
cosh(1l )
cos( 2l )
0
12 sinh( 1l ) 12 cosh(1l ) 22 sin( 2l ) 22 cos( 2l )
2 2 (12 2 ) sinh( 1l ) sin( 2l ) 0 满足上式的解为：
sinh( 1l ) 0 sin( 2l ) 0
1 0
所有常数为零，非解。
2l n 解得C1、C2、C4均为零，
nz C3 sin l
将 的表达式代入（2）式，得：
固定端 自由端
z 0 边界条件： 0; u 0 0; u 0


（4）杆件具有其他约束条件 引进计算长度系数y、，可得临界弯矩的通式：
规律？
2 EI y I GI k R 2 2 2 M cr y y 1 2 l 2 ( yl ) Iy EI