黄冈中学2013届11月月考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)- 的值为（ ）A．2- B ．12- C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+ ，即原式sin 60=- ，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ） A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ．答案：C4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的俯视图正 视 图 侧视图中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AO B 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．D ．4解析：由已知24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b-，②1a b+，③1b a+，④1b a-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（ ） A ．cos 2,sin 2a b θθ== B ．sin 2,cos 2a b θθ== C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos 2tan ,cos 2,sin 2cos 1cos 2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+ 时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B ．5]22C ．1[,22D ．[22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而d =表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ．10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2O B O C O P += (),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC C λλ++∈+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2O B O CO D += ，∴2O B O C O P += ()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ++ ()||cos ||cos AB ACO D AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACO P O D D P AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCD P BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=， ∴D P BC ⊥，即点P 一定在线段B C 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的外心，选C ． 答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上．11．1220xe dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xxe dx ee ==-⎰．答案：1(1)2e -12．定义运算a c ad bc bd=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212i zi i i z i i+-=+⇒==-，∴z ==．13．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______． 解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-； 当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去； 当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2xxe e shx --=和双曲余弦函数2x xe echx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x xy yx xy ye ee ee ee e----++--=⋅-⋅1()4x yx yx yx yx y x yx yx ye eee eee e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x yx y x yx y ee eech x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分（2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a--=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证）， 故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n nn a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3nn n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3x p f x -=且|()|2f a <；q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23a f a -=<成立，则616a -<-<，即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞ ． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分） 18．（本小题满分12分）已知A B C ∆的两边长分别为25A B =，39AC =，且O 为A B C∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯） （1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；（2）求AO BC ⋅的值．解答：（1）由正弦定理有2sin sin A B A C R CB ==，∴253965sin sin CB==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin B C R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分（2）由已知AO OC AC += ，∴22()AO OC AC += ，即2222||2||||39AO AO O C O C AC +⋅+==……………………8分同理AO OB AB += ，∴2222||2||||25A O A O O B O B A B +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO O C AO O B ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅= ，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F的坐标为1(,1)22F，∴3(,0)22B F =- ，显然BF与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分 （2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，由(1,C B =，(1,2)C E =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即2)n = ，∴所求角θ满足(0,0,1)cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分 （3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE的法向量为(1,2)n =，∴所求距离||||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ，…………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由B F ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//B F ∴平面ACD ； ……………4分 （2）由已知条件可知A C D ∆即为B C E ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos AC D BC ES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE =∴1||2BC E S C E ∆==而2||4AC D S AC ∆==∴cos 2AC D BC ES S θ∆∆==，而02πθ<<，∴4πθ=； ………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又C G A D ⊥，∴C G ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BG E G BC E V V --=即1133BG E BC E S G C S h ∆∆⨯=⨯，E由32B G E S ∆=，BCE S ∆=C G =∴B G E B C ES G C h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离．………………12分20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x ab+=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e=5，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解答：（1）由已知4b =，且5c a =，即2215c a=，∴22215a b a-=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016yx+=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立， 消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =，∴所求弦长21||||9M N x x =-=； ……………………6分（2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2B F F Q =，又(0,4)B ，∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545M N y y x x k x x y y -+==-=-=-+- ∴， 故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分（注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x m x x x-+=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值； （3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 解答：（1）由已知/211()0sin g x xxθ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥， 即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln e f x x x-+=--，(0,)x ∈+∞，∴/2221121()e e xf x xxx---=-=，令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m e F x f x g x m x x x+=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m m x x-≤，且22ln 0e x x --<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m xxx+-++=+-=，∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立， 故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴m ax ()()4m F x F e m e e==--，令40m m e e-->，则241e m e >-，故所求m 的取值范围为24(,)1e e +∞-． ……………………14分。