正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020
正项级数敛散性的判别
刘 兵 军
无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进
行数值计算的一种工具。
正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念
所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式
+++++n u u u u 321
叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞
=1
n n u ，即
+++++=∑∞
=n n n
u u u u u 3211
，
(1)
其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列
n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n
(2)
称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞
→n n s lim s ，则称
级
数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别
由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞
=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则
∑∞
=1
n n u 收敛；
如果正项级数∑∞=1
n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞
=1
n n u 发散；
比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞
=1
n n v 是
解题的关键。
几何级数∑∞
=-11
n n aq 和p-级数∑∞
=11
n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞
=1
n n v 。
例１ 证明级数∑∞
=+122
1
n n 是收敛的。
证 由于2
22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞
=121n n
为p=2 的p-级数
且收敛，
故由比较审敛法，级数∑∞
=+1221
n n 是收敛的。
例2 判别下列级数∑∞
=+122
2n n n
的敛散性。
分析 这是一个典型的例题，通项2
22+n n
是关于n 的一个有理分式。
应注意
分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应
的p-级数有相同的敛散性。
本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞
=11
n n
做
比较。
解 n n n n n n n 1
322222222⋅=++≥+，而级数∑∞=⋅1)132(n n 与∑∞
=1
1n n 有相同的敛散性，即
同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞
=+1
222n n n
是收敛的。
在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。
比较审敛法的极限形式 设∑∞=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 为两个正项级数，如果
l v u n
n
n =∞→lim
(+∞<<l 0)， 则级数∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 有相同的敛散性。
如果正项级数∑∞
=1
n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞
=1
n n u 发散；
例３ 判别级数∑∞
=1
1
sin
n n
的敛散性。
解 因为111
sin
lim
=∞
→n
n n ，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。
如果不用比较审敛法的极限形式，例３中的级数敛散性的判别较为困难。
例４ 用比较审敛法的极限形式判别例３中的级数∑
∞
=+12
2
2n n n
的敛散性。
解 因为21
22lim 2=+∞→n n n n ，故由比较审敛法得知此级数收敛。
比值审敛法 设正项级数∑∞
=1n n u 的后项与前项的比值的极限等于ρ：
ρ=+∞→n
n n u u 1
lim
，
(3)
则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。
例５ 判别级数
+++⋅⋅+⋅+n
n 10!
10321102110132 的敛散性。
解 因为
n n n u 10!
=，故101!1010
)!1(11+=
⋅+=++n n n u u n n n n ，从而∞=+=∞→+∞→n n u u n n
n n 1
lim lim
1。
由比值审敛法可知级数发散。
由例５易知，当级数的通项含有阶乘或n 出现在指数位置时，一般可用
比值审敛法判别其敛散性。
例６ 判别级数∑∞
=⋅1!
2n n n n
n 的敛散性。
分析 此级数的通项n
n n n
n u !2⋅=中既含有n 的阶乘，又含有n
2和n n ，所以可用比值审敛法判断其敛散性。
解 因为n n n n n u !
2⋅=，所以n n n n n n n n
n n n n u u )
11(2
!2)1()!1(2111+=⋅⋅++=+++ 从而12
lim
1<=+∞→e u u n
n n ，由比值审敛法可知，此级数收敛。
当(3)中ρ等于１时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。
可用其它方
法判别其敛散性。
根值审敛法 设正项级数∑∞
=1n n u 的通项n u 的n 次方根的极限等于ρ：
ρ=∞
→n n n u lim ，
(4)
则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。
例８ 证明级数 +++++
n n
13121132收敛。
分析 当级数的通项中含有n n 或类似的表达式时，通常采用根值审敛法
判别级数的敛散性。
证 因为011→==n
n u n
n n n (∞→n ) 故由根值审敛法得知所给级数收敛。
以上给出了正项级数的各种判别法。
对于给定的正项级数，可以按照以
下顺序对其敛散性进行判别：
１．首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。
２．如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。
３．极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性。
（完）。