灰度-梯度共生矩阵数字特征的研究
0引言
灰度共生矩阵概念最早由Haralick 于1973年提出，在1992年Ohanian P . P .通过实验证明了基于灰度共生矩阵的统计特征的有效性。

洪继光于1984年在灰度共生矩阵的基础上提出了灰度-梯度共生矩阵[1]，并应用该模型上的15个特征对五类白血球样本进行了分类识别，其实验结果表明，对于像细胞核边界不清晰的图像，该方法较灰度共生矩阵的分类结果好。

灰度-梯度共生矩阵模型集中反映了图像中两种最基本的信息，即像素的灰度和梯度（或边缘）的相互关系。

各像素的灰度是构成一幅图像的基础，而梯度则是构成图像边缘轮廓的要素。

灰度-梯度空间可以很清晰地表现图像内像素灰度与梯度的分布规律，同时也体现了各像素与其邻域像素的空间关系，对图像的纹理能很好地描绘。

1灰度-梯度共生矩阵模型
灰度-梯度共生矩阵纹理分析方法是利用图像的灰度和梯度的综合信息提取纹理特征[2]。

灰度-梯度共生矩阵的元素),(y x H 定义为在归一的灰度图像),(j i F 及其归一的梯度图像),(j i G 中具有灰度值x 和梯度值y 的像素数，即在集合
{}
1,,1,0,,),(),(|),(-===N j i y j i G x j i F j i 中元素的个数。

其中，
]1,0[),(],1,0[),(-∈-∈g L j i G L j i F 。

对灰度-梯度共生矩阵进行归一化处理，使其各元素之和为1。

如式（1）所示：
∑∑-=-=∧
=
101
)
,()
,(),(L x L y g y x H y x H y x H （1）
而2101
),(N N N y x H L x L y g =⨯=∑∑-=-=，所以上式可以表示为式（3-2）：
2
)
,(),(N
y x H y x H =
∧
（2） 该灰度-梯度共生矩阵的原点在左上角，向右梯度值增加，向下灰度值增加。

对于粗纹理的图像，),(y x H ∧
在灰度轴附近集中分布，仅少量边界点远离灰度轴分布。

对于细纹理图像，),(y x H ∧
离开灰度轴而沿梯度轴散开分布[3]。

灰度-梯度共生矩阵常用的数字特征有： （1）小梯度优势
∑∑∑∑-=-=∧
-=-=∧
+=
1010
1010
2
1)
,()
1/(),(L x L y L x L y g g y x H y y x H T
（2）大梯度优势
∑∑∑∑-=-=∧
-=-=∧
=
1010
1010
2
2)
,(),(L x L y L x L y g g y x H y
y x H T
（3）灰度分布的不均匀性
∑∑∑∑-=-=∧
-=-=∧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
101
1
02
103)
,(),(L x L y L x L y g g y x H y x H T （4）梯度分布的不均匀性
∑∑∑∑-=-=∧
-==∧⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
1010
1
02
04)
,(),(L x L y L y L x g g y x H y x H T
（5）能量
∑∑-=-=∧
=1010
25),(L x L y g y x H T
（6）灰度平均
∑∑-=-=∧
=1
10
6),(L x L y g y x H x T
（7）梯度平均
∑∑-=-=∧
=
1
10
7),(g L y L x y x H y T
（8）灰度均方差
2
1
101
02
68),()(⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=∑∑-=∧
-=g L y L x y x H T x T
（9）梯度均方差
2
1
101
02
79),()(⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=∑∑-=∧-=L x L y y x H T y T g
（10）相关
∑∑-=-=∧
--=101
7610),())((L x L y g y x H T y T x T
（11）灰度熵
∑∑∑-=∧
-=-=∧-=10
1010
11),(log ),(g g L y L x L y y x H y x H T
（12）梯度熵
∑∑∑-=∧
-=-=∧
-=10
1010
12),(log ),(L x L y L x y x H y x H T g
（13）混合熵
),(log ),(1010
13y x H y x H T L x L y g ∧
-=-=∧
∑∑-=
（14）惯性
),()(101
2
14y x H y x T L x L y g ∧
-=-=∑∑-=
（15）逆差矩
∑∑
-=-=∧
+=101
2
15),(1)
,(L x L y g y x y x H T 因梯度表达了图像灰度的最大变化率，图像各点梯度的大小则表达了该点处等灰度线的密集程度，所以大梯度优势和小梯度优势可从一定程度上反映图像的
灰度变化剧烈程度。

当图像的灰度变化平缓时，小梯度像素数多，小梯度优势大。

而当图像的灰度变化剧烈时，大梯度像素数多，大梯度优势大。

2 仿真实验及分析
因为灰度-梯度共生矩阵是定义于多灰度级图像上的，故采用灰度化预处理方法将半调图像“下采样”变换成灰度图像。

具体做法如图1所示，先将半调图像按2
2⨯分块，并依光栅扫描这4个像素，将其分别记为a、b、c、d，再按式（3-3）便可将2
2⨯的二值块映射成一个十进制。

这样，原来仅有两级灰度值的半调图像就缩小成原图像1/4大小的16级灰度图像。

1
2
32
2
2
2⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=d
c
b
a
f（3）
b c d
f 灰度化
a
图1 灰度化处理示意图
灰度-梯度共生矩阵是在归一化灰度图像及其归一化梯度图像上构造的，将灰度图像和梯度图像均归一化为16级，而应用灰度化预处理后半调图像就变成16级的灰度图像，因此在这里不需再进行灰度归一化。

而由半调图像获得对应梯度图像，则是利用sobel算子，该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与半调图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。

如果以A代表原始图像，Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像，其公式如下:
那么，最终求得的梯度图像)
,(j
i
g可用下面的公式算出：
22),(Gy Gx j i g += （4）
对于利用sobel 算子求得梯度图像),(j i g 可通过式（5）求得归一化梯度图像
]15,0[),(∈j i G 。

然后，便可通过1中的数字特征计算公式求得特征值。

)1()
()
,(),(min max --=
g L g g j i g j i G （5）
其中，{}),(m in min j i g g =，{}),(m ax max j i g g =。

最后，使用公式（2）便得到灰度-梯度共生矩阵。

实验选用一幅lena_hFloyd 256×256半调图作为实验对象。

见图2。

程序使用C++语言实现算法。

最终计算出的15个数字特征值如下：
小梯度优势 0.0435289 大梯度优势
71.8826 灰度分布的不均匀性 6.64258 梯度分布的不均匀性 6.29035 能量
0.0229605
灰度平均
5.97595 图2 实验用半调图 梯度平均 7.74176 灰度均方差
6.21491 梯度均方差 3.45656 相关
5.3755 灰度熵 0.250095 梯度熵 0.373588 混合熵 1.86179 惯性
1.1107e+019 逆差矩
0.0931894
该结果各项数据经与使用Matlab 处理的结果完全一致。

3 总结
本次SSRT 计划项目，我熟悉了BMP 文件的文件物理与逻辑结构，明白了什
么是灰度图、梯度图、半调图，学习了运用编程语言实现灰度-梯度共生矩阵数字特征计算的重要算法与核心思想。

信控学院的孔月萍老师在此期间给与了我很多必要的支持，使得我得以克服困难，完成此次SSRT实验计划，在此我衷心地表达我的感谢。

参考文献
[1] 洪继光, 灰度一梯度共生矩阵纹理分析方法. 自动化学报,Jan 1984. Vol. 10 No.1
[2] 夏德深,金盛,王健, 基于分数维与灰度梯度共生矩阵的气象云图识别(Ⅱ) ———灰度梯度共生矩阵对纹理统计特征的描述. 南京理工大学学报, 1999年8月第23卷第4期
[3] 郭德军,宋蛰存,基于灰度共生矩阵的纹理影像分类研究. 林业机械与木工设备, 2005.7。