83 专题二 图像方法在物理学中的应用 不论是检验理论正确与否，还是研究事物发展规律，或是探索事物的本质特征，都必须找到一种适当的方式或方法，对所研究问题的结果做出明确的回答.物理学的研究同样如此.在物理学的研究中，除去用数学表达式表达物理规律这个基本方法（解析法）外，我们还常常使用图像描述物理状态、物理过程以及物理量之间的关系，在实验中也常常将得到的数据画成图像以帮助我们去探索未知的物理现象及其规律. 用图像表示物理状态和物理规律，往往比用解析法要形象直观；对有些问题的分析和解决，图像方法比用其他数学方法要简便直接；在探索新的物理规律时，借助图像进行分析也是一种重要手段.总之，图像方法在物理学中是一种常用的研究、处理问题的方法.下面通过对具体问题的分析说明图像方法如何用在物理学中. 一、通过图像理解物理图景 中学物理中的图像一般是在二维直角坐标系中画出的，所以从图像中直接得到的是两个物理量之间的关系的信息.在图像中，一个点表示一个物理状态；从一个状态过渡到另一个状态，在图像中画出的点连成了一条曲线，这条曲线反映的是一个物理过程；从表示物理过程的曲线显示出的函数关系，我们就可以确定物理过程遵循的规律. 我们解读物理图像的一般方法是： 首先，应该分别看横、纵坐标各代表什么物理量，它们的单位是什么.这样，图线上的每个点的坐标表示的物理状态便可确定了，物理图像描述的是什么过程就明确了. 然后看图线属于那种函数曲线.如果是某个物理量与时间关系的函数曲线（如速度－时间图像、磁通量—时间图像等），便可确定该物理量随时间变化的过程所遵循的规律.如果是关于两个物理参量的函数曲线（如导体的伏—安特性曲线、气体的压强—体积图像等），则说明的是这两个参量之间相互依存的规律.整个高中教材中有很多不同类型的图像，按图形可分为以下几类：⑴直线型：如匀速直线运动位移与时间关系s-t图像，匀变速直线运动速度与时间关系v-t图像；恒定电路中标准电阻的电压与电流关系U-I图像等⑵正弦曲线型：如振动的s-t图像；波动的y-x图像,交变电流的e-t图像等⑶其他线型：机械在额定功率下，牵引力随速度变化的图像；共振曲线A-f图线；电磁感应中的有关图像等. 通过图像分析物理规律，还要研究图线的斜率、图线包围的面积、图线和横、纵坐标交点的坐标（截距）、起点、终点、拐点、渐近线等几何要素的物理意义，从而可以对图像反映的物理状态、物理过程和物理图景有更深入的理解. 【例１】从同一地点开始，甲乙两物体同时沿同一方向作直线运动的图像如右上图所示，试问：⑴在ｔ=3s时刻，两物体的速度各是多大？⑵在前6s内，两物体的运动情况如何？ 解析 图像的横坐标轴表示时间ｔ，单位为ｓ；纵坐标轴表示速度v，单位为m/s.这是速度—时间图像. ⑴由图像可知，在 t=3s时刻甲物体的速度v甲＝２m/s,乙物体的速度v乙＝２m/s. ⑵在前6ｓ内，甲物体一直做速度为的v甲＝２m/s的匀速直线运动.乙物体做初速度 84

为零、加速度（用右下图中的直线ＯＤ的斜率表示）a＝2020

vvtt

=2030m/s2≈0.67m/s2的匀加速直线运动.

因为v－ｔ图线和时间轴ｔ之间包围的面积表示位移，在第３s末，图线甲和图线乙相交、所围面积差值最大（等于△OAB的面积），表示两物体速度相等时物体乙落后于物体甲的距离最大.在第６s末，图中△BDE和△OAB面积相等，使得代表物体乙位移的△ODF的面积和代表物体甲位移的矩形OAEF面积相等，说明甲、乙此刻完成了相同的位移，物体乙追上了物体甲. 【例２】家用电热灭蚊器中电热部分的主要元件是 PCT元件.PCT元件是由钛酸钡等半导体材料制成的电阻器，其电阻率ρ与温度t的关系如图所示.由于这种特性，因此PCT元件具有发热、控温双重功能. 请分析元件消耗电功率的变化规律以及何时温度能够达到稳定？ 解析 根据图像，开始时，PCT元件温度较低，通电后，元件产生的热量比散发的热量多，温度t升高，电阻率ρ下降，电流增大，元件消耗的功率随之增加，产生的热量更多，温度t继续上升，元件的电阻率ρ继续下降，电流更强，功率再增，等温度升到t1时，元件的电阻率ρ不再下降，温度t再升高，其电阻率ρ反而增大，使通过元件的电流减小，消耗的功率也减少，发热量随之减少.此时，温度越高，电阻率ρ增加的越快，电流减小得越多，发热量也减少得越多，直到发热量与散热量相等，电阻率ρ不再变化，元件的温度便稳定了. 总之，电热元件消耗的电功率先增加后减少，稳定温度ｔ是介于ｔ１和ｔ２之间某一值. 【例３】如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里.一边长为ｌ＝20cm的正方形导线框abcd位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度ｖ＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行.取它刚进入磁场的时刻t=0，试画出穿过导线框的磁通量Φ随时间ｔ变化的曲线、导线框中感应电流i随时间ｔ变化的曲线以及垂直作用在ab边的、牵引导线框通过磁场区域的外力Ｆ随时间ｔ变化的曲线. 解析 设导线框以恒定速度v进入磁场区域后，经过时间ｔ后，它的ab边到磁场区域的左边界的距离为x，则x=vt.那么，穿过导线框的磁通量Φ1=BS=Blx=Blvt，与时间t成正比，当导线框完全进入磁场区域，穿过导线框的磁通量达到最大值Φ2=Bl2，此过程

经历时间t1=2020lvs=1s.在整个导线框通过磁场区域的t2=1s时间里，穿过导线框的磁通量保持为Φ2=Bl2.然后ab边离开磁场区域，穿过导线框的磁通量随时间减小：Φ3=Bl2－Blvt，经历时间ｔ3＝１s.根据以上分析画出的穿过导线框的磁通量Φ随时间t变化的曲

40cm a b c d

v/ms-1 t/s 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4

v/ms-1 t/s 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

甲 乙 乙 甲 A B

C

D

E F

t/℃ ρ

0 t1 t2 85

线如图甲所示： 当正方形导线框刚进入匀强磁场区域时，其ab边开始切割磁感线，产生感应电动势E=vBl，方向由指b向a.由于导线框边切割磁感线的速度v不变，所以线框中感应电流大

小为vBlR也恒定不变，感应电流沿逆时针方向.经过时间t1=1s后，线框的cd边进入磁场区域，穿过导线框的磁通量保持不变，在cd边穿过磁场区域t2=1s的时间里，线框中没有感应电流，即i=0.接着ab边穿出磁场，只有cd边切割磁感线，线框中又产生大小为vBlR的感应电流，但方向相反，为顺时针方向，经历时间t3=1s.最后cd边穿出磁场区域.线框中不再产生感应电流. 根据以上分析，并规定沿逆时针的电流方向为正方向，则可得出导线框中感应电流i随时间t变化的曲线如图乙所示： 当正方形导线框刚进入匀强磁场区域时，其ab边开始切割磁感线，产生感应电流大

小为I=vBlR恒定不变，沿逆时针方向，根据左手定则，他受到的安培力大小为FA=BlI、方向向左，恒定不变，因此，由二力平衡条件，对ab边所施外力大小也为F=BlI、方向向右.经过1s后，导线框完全进入磁场区域，感应电流消失，导线框不受安培力作用，因此不需外力：F=0也能继续做匀速直线运动.再过1s时间，只有cd边切割磁感线，产

生的感应电流大小仍为I=vBlR恒定不变，沿顺时针方向，根据左手定则，它受到的安培力大小为FA=BlI，方向仍旧向左，恒定不变，因此，由二力平衡条件，对所施外力大小也为F=BlI，方向还是向右.规定向左为力F的正方向，由此画出的垂直作用在ab边的、牵引导线框通过磁场区域的外力F随时间t变化的曲线如图丙所示. 二、利用图像解决物理问题探索物理规律 利用我们掌握的物理知识和描绘物理图像的方法，在解决某些物理问题时往往比用“解析法”简单、快捷、直观，常常可以达到事半功倍的效果. 【例４】一物体放在光滑水平面上，初速度为零.先对物体施加一向东的水平恒力Ｆ，历时１s；随即把此力方向改为向西，大小不变，历时１s；接着又把此力改为向东，大小不变，历时１s.如此反复，只改变力的方向，不改变力的大小，共历时１min，在此1min内物体的运动情况是： A.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min末静止于初始位置以东. B.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min末静止于初始位置. C.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min末继续向东运动.

φ/wb t/s 0 1 2 3 4 5 t/s 0 1 2 3 4 5 t/s 0 1 2 3 4 5 i/A F

/N

甲 乙 丙 86 C.物体一直向东运动，从不向西运动，在１min末静止于初始位置以东. 解析 规定向东为正方向.由于物体受力大小不变、方向改变，因此加速度也是大小不变、方向改变，所以能够画出如图所示的v－ｔ图像，据此立即可确定选项Ｄ是正确的. 探索物理规律，更是图像法的重要功能.物理学中的弗兰克－赫兹实验就是著名的一例. 在20世纪初，从一些实验中知道：如果给原子足够的能量，就可以使电子从原子的束缚中脱离出来而使原子电离，这个能量称之为“电离能”.当原子和入射的电子碰撞获得能量而电离时，就可以通过测量使电子加速的电压进而测定原子的电离能. 1914年，在德国柏林大学工作的科学家弗兰克(1882－1964)和赫兹(1887－1975)为测量电离能设计了如图所示的实验：在玻璃真空管内充入少量水银蒸气，由灯丝发射出来的热电子被灯丝和栅极之间的电压Ｕ加速，然后又被加在集电极和栅极之间的反向电压减速.电压Ｕ可以调节和测量.由于有反向电压，电子在任何时候都不会到达集电极.设想在栅极和集电极之间的电子和汞原子碰撞，就会使一些汞原子电离成为汞离子，电场便将汞离子向集电极方向加速，于是在电流表Ｇ上可测出电流来. 用这个装置做实验，他们可得到如图所示的曲线. 图线显示，随着栅极和灯丝之间的加速电压Ｕ由零开始增加，集电极的电流逐渐上升.当Ｕ＝４.9V时，集电极电流突然下降；继续增大加速电压U，集电极电流随之回升，当U=9.8V时，集电极电流第二次突然下降；再继续增大加速电压U，集电极电流又随之回升，当U=14.7V时，集电极电流第三次突然下降.图线表现出一个明显的周期性：加速电压在增大的过程中，每隔４.9V集电极电流就下降一次.也就是说，在加速电压和集电极电流之间，存在着一种因果关系. 分析这个因果关系，他们做出的判断是：用电子轰击汞原子并没有使汞原子电离，而是使电子损失一份特定的能量，即电子在和汞原子相碰时，电子只能损失４.9eV的能量，换句话说，汞原子在改变能量状态时，只能吸收4.9eV的能量.根据这个分析，弗兰克和赫兹又重新设计了实验，测定汞蒸气受到电子轰击时辐射的谱线波长.其结果是：当加速电压大于4.9V时，汞蒸气才产生辐射，而且只辐射能量为4.84eV、波长为2536×10－１０ｍ的谱线，相当精确地证实了他们的判断. 这个实验结果揭示了在原子尺度的范围内，能量的改变是以某种最小单元一份一份地改变的.也就是说，原子只能处于一系列不连续的能量状态中，它只能从一个状态变到另一个状态，变化的能量一定是某一个确定值.这个实验成功地证实了1913年丹麦科学家玻尔提出的原子理论，并因此获得了1925年诺贝尔物理学奖.