第一章习题答案
1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于 1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为件/h,正确率为98%，计时工资为 4元/ h;二级检验员标准为：速度为元/h。

检验员每错检一件，工厂损失 2元。

现有可供聘请检验人数为：
省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量；
g2( X) = X1 -8 w 0 g3( X) = X2-10 w 0
g4( X) = -X1 w 0
g5( X) = - X2 w 0
X3 (2)建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即:
2
2
f(X)=——rx1 X2X3
4
(3)本问题的最优化设计数学模型:
2
2
min f (X) = —rx1 X2X3
4
25 15件/h,正确率为95%，计时工资 3 —级8人和二级
10人。

为使总检验费用最
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=
X1
X2 一级检验员二级检验员
(2)建立数学模型的目标函数；取检
验费用为目标函数，即：
f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 +
2
=40x1+ 36x2
( 8*25*0.02x1 +8*15*0.05 X2)
s.t. min f (X) = 40X1+ 36X2
g i(X) =1800-8*25
3’
X € R
X i+8*15X2< 0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力选择一组设计变量X [X1 X2F，剪切弹性模量G，材料重度
X3]T[d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数
r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。

欲
簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下
ks^ , k s 1 ±
d 2c D2 (旋绕
比)，
8F n D
Gd4
解：(1)确定设计变量;
X1
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X2 D2
3 •
X€ R
g 2( X) =10- x 2 < 0 g 3( X) = X 2-50 W 0 g 4( X) =3- X 3 W 0
表面积为目标函数，即:
T 2
X=[ X 1, X 2] € R
g 2( X) = - X 2 w 0
解：(1)确定设计变量;
X 1 X 3
建立数学模型的目标函数； 取总价格为目标函数，即：
f(X) = 8(X 1 X 3 + X 2 X 3) + 6 X 1 X 2 + 12 X 1 X 2
建立数学模型的约束函数；
仓库的容积为1500 m 3。

即:
1500- X 1 X 2 X 3 =0
X 1 > 0, X 2 .> 0.，
贝U
本问题的最优化设计数学模型:
min f (X) = 8(X 1 X 3 + X 2 X 3) + 18 X 1 X 2 X € R
g 5
(x)= (1
X i . 8F X 2
2X 2
3
X 1
CL 3
8F X 2 X 3
g(X)
= GX 14
1-3某厂生产一个容积为 优化问题的数学模型。

8000 cm 3
的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X i X 2
底面半径r 高
考虑题示的约束条件之后, 该优化问题数学模型为：
mn f(X)=
in f(X)=
X 12
+ 2
X 12
X 1 X 2
X 1 X 2
S.t .
g 1(X) =
-X 1 w 0
h 1(X) = 8000 -
X 12
X 2 = 0
1500 m 3
的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为 元。

基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。

现欲使其造价最低，
1-4要建造一个容积为
4元、6元和12
试导出相应优化问题的数学模型。

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为
X 2
(3) 仓库宽度为高度的两倍。

X 2 -2 X 3 = 0 即:
各变量取值应大于
0, 即:
-X 1 W 0, -X 2 W 0
g2( X) =10- x2 < 0
s.t . g
1( X) = - X1 W 0。