3、例题讲解.
例1 求 .
解 设 那么 于是
.
例2 求
解 令 则 .
原式 .
例3 求
解 设 .则原式 .
再令 .则 .
故原式 .
故 .
说明: 也可设 为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 .
注：(1) .
(2) 应较 易积分.
(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出 ，而是直接用公式来做.
例5 求 .
3.基本积分表（30）
4.习题（90）
课后作业
参考资料
不定积分的概念与性质
1、
2、原函数与不定积分的概念.
（1）定义1在区间I上，如果可导函数 的导函数为 ，为 (或 )在区间I上的原函数.
（2）原函数存在定理如果函数 在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 ,使对任一xI都有F(x) .
参考资料
分部积分法
1、复习分部积分法.
2、例题讲解.
例1求
解因为
所以
例2求
解因为
所以
例3
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
第5次课2学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.掌握第一类换元积分法
重点：第一类换元积分法
难点：凑微分
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
第3、4次课4学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质；3.熟记基本积分表。
重点：不定积分的性质和基本积分表
难点：不定积分的概念
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
1.不定积分的概念（25）
2.不定积分的性质（30）
1.分部积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
分部积分法
1、提出问题：求解 （让学生试着求解）.
2、分部积分公式.
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为
(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分得 或
这个公式称为分部积分公式
思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
３） ４）
５） ６）
７） ８）
第6次课2学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.掌握第一类换元积分法
重点：第一类换元积分法
难点：凑微分
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
1.练习（90）
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、复习旧知.
（1）13个常见的积分公式.
1.第二类换元积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
第二类换元积分法
1、复习第一类换元积分法.
2、第二类换元法.
（1）定理1设 是单调的、可导的函数并且 0又设f[ ] 具有原函数F 则有换元公式
其中 是 的反函数这是因为
3、例题讲解.
例1.求 (a>0)
解:设 ， 那么
于是
因为 , 所以
或 .
又由于 是 的原函数,所以 或记作 .
6、基本积分表（略）.
例4. .
例5. .
7、不定积分的性质.
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
.
这是因为, f(x)g(x).
性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
( 是常数, )
例6. .
.
例7.
.
8.变式练习
注：1、如果函数 在区间I上有原函数 ,那么 就有无限多个原函数. 都是 的原函数.(其中C是任意常数)
2、 的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和 都是 的原函数,则
( 为某个常数).
简单地说就是,连续函数一定有原函数.
定义2在区间I上,函数 的带有任意常数项的原函数称为 (或 )在区间I上的不定积分.记作 ,其中记号 称为积分号, 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为积分变量.
（2）降低幂次：利用倍角公式 , 如 .
（3）统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法.
（4）巧妙换元或配元
第7次课2学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.理解第二类换元积分法
重点：第二类换元积分法
难点：第二类换元积分法
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
1.第一类换元积分法理论（25）
2.练习（65）
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、回顾旧知
（1）复习13个常见积分公式
（2）思考： 对吗？
2、第一类换元法.
设 有原函数 且 可微那么根据复合函数微分法有
即
定理1设 具有原函数 可导则有换元公式
3、讲授例题.
例1
例2
例3 =
例4求
解
4、变式练习.
１） ２）
（2）第一类换元积分法.
2、例题讲解（较难的积分）.
例1.
例2.
例3.
ln |cscxcotx|C
即 ln |cscxcotx|C
例4. ln |secxtanx|C
即 ln |secxtanx|C
3、变式练习.
1） 2）
3） 4）
5) 6)
7) 8)
9) 10)
4、小结
（1）分项积分：利用积化和差; 分式分项; ；
解 .
例6 求 .
解
.
4、变式练习.
１） ２）
３） ４）
５） ６）
７） ８）
第9次课2学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.会应用分部积分法求积分
重点：分部积分法
难点：分部积分法
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
1.习题（90）
课后作业
.
例2 求
解 原式 .
例3 求
解 为了消去根号，设 ，则 .所以
.
4、变式练习.
１） ２）
３） ４）
５） ６）
７） ８）
第8次课2学时
课程安排：1学期，周学时2 ,共48学时.
主要内容：不定积分，定积分，微分方程
教学要求：1.掌握分部积分法
重点：分部积分法
难点：分部积分法
教学手段及教具：讲授法
讲授内容及时间分配：
3、例题讲解.
例1因为 是 的原函数,所以 .
因为 是 的原函数,所以 .
例2.求函数 的不定积分
解：当 时，(lnx) ， ( ).
当 时，[ln(x)] ， ( ).合并上面两式,得到 (x0).
例3. 求
解 由于 ，所以 是 的一个原函数，因此 .
4、变式练习
5、积分曲线函数 的原函数的图形称为 的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系