《反比例的意义》教学设计 【教学内容】： 青岛版义务教育教科书（五·四学制）五年级下册第五单元信息窗3 【教学目标】： 1. 在具体情境中，理解反比例的意义，能够判断两种相关联的量是否成反比例关系。 2. 通过对相关联的两种量的变化情况的探索，经历对比归纳、抽象模型的学习过程，积累数学活动经验，初步感受函数思想。 3. 通过观察、比较、归纳，提高学生综合、概括和推理的能力，在自主探索与合作交流中获得积极的数学学习情感体验。 【教学重难点】： 重点：反比例的意义 难点：正确判断两种量是否成反比例

【前置性研究】： 仔细观察七组相关联的量，完成下面的题目。 （1）妈妈和儿子的年龄 妈妈的年龄（岁） 30 31 32 …… 儿子的年龄（岁） 5 6 7 8 9 …… （2））购买同一种笔记本，笔记本的数量和总价 数量（本） 1 2 3 4 5 …… 总价（元） 4 8 12 …… （3）用20cm的线围出的长方形的长与周长 长方形的长（cm） 9 8 7 6 5 …… 长方形周长（cm） 20 20 20 …… （4）一辆汽车从甲地到乙地行驶的速度和时间 速度（千米/时） 150 100 75 …… 时间（小时） 2 3 4 5 6 …… （5）一本书已经读的页数和剩下的页数 已读的页数 20 40 60 80 100 …… 剩下的页数 300 280 260 …… （6）生产一批啤酒每天生产的吨数和需要的天数 每天生产的吨数 100 200 300 400 500 …… 需要的天数 60 30 20 …… （7）正方形的边长和周长 正方形边长（dm） 10 9 8 …… 正方形周长（dm） 40 36 32 28 24 …… 1.把表格补充完整。 2.找一找，七个表格中，两种相关联的量同时发生变化的有哪些？（写序号）

3.根据变化规律，把同时发生变化的几组分类，并思考：为什么这样分？ 我这样分类：

我的理由： 【教学过程】： 一、计算分类，感受丰富的“变化” 师：同学们，日常生活和学习中，存在着许多相关联的量，比如：学习效率和学习时间，学习效率越高，用的时间就越短。你能举出生活中相关联的量吗？ 生举例。 师：课前我们整理几组相关联的量，听清要求：（1）小组内订正表格中的数据是否正确，错的改正过来。（2）交流小研究第2、3题。 师：第1题都订正好了吗？继续看第2题，找一找，7个表格中相关联的量同时变化的有哪些？ 生：（1）（2）（4）（5）（6）（7） 师：为什么不选（3）？ 生：因为长方形周长没有变化，只有长在变化，所以它们不是同时变化的。 师：也就是说，相关联的量有的会同时变化，有的不会。不同时变化的量今天暂不研究。同时变化的六组，可以分成几类呢？谁来交流一下。 生：（1）（2）（7）分为一类，因为它们同时变大或变小，变化方向相同；（4）（5）（6）一类。因为它们是一种量变大，另一种量变小，变化方向相反。 师：看来，同时变化的量变化的规律也是不一样的，有的同时变大或变小。有的一种量变大另一种量变小。 【设计意图：通过对七组熟悉数据的计算与观察，让学生不仅体会到数量关系的丰富，更对每种量的大小变化有了初步感知，为后面“不变”量的发现做好准备。同时，学生在对各组数据的观察区分中感受到人们认识世界的一般方法，在数据的变大变小中提升了数感。】 二、在“正”与“反”的猜想中，聚焦“积不变” 师：生活中“万物皆变”，而既有变，也定有不变。在同时变化的量中，往往还蕴含着不变呢！想一想。前面学习的什么知识中涉及这样的内容？ 生：正比例。 师：仔细观察一下，刚才的表格中哪几组是正比例关系？ 生：（2）（7） 师：回忆一下，正比例关系中，什么不变？不管两种量怎么变化，但它们的比值不变，商不变。我们在六组数据中，找到了2组“商不变”的情形，剩下的四组中还有不变吗？或者说除了商一定，还有其他一定吗？跟同桌说说，你发现哪些“一定”，怎么发现的？ 生交流。 （2）中 30-5=25,31-6=25,32-7=25,33-8=25.34-9=25，妈妈的年龄和儿子的年龄的差不变。 （4）中150×2=300，100×3=300，75×4=300，60×5=300，速度和时间的积不变。 （5）中20+300=320,40+280=320,60+260=320，已读的页数和剩下的页数的和不变 （6）中100×60=6000，200×30=6000，300×20=300，每天生产的吨数和需要的天数的积不变。 师：算一算，让我们找到了变化中的不变。商一定就有了正比例关系，有正比例，你觉得还会有什么？ 生：反比例。 师：正比例关系中商一定，大胆猜想一下，反比例呢？ 生：积一定。 师：为什么？猜想要有理有据啊？ 生：因为积和商相对应，乘和除相对应 师：有道理。事实却是如此。有“正”就有“反”，有“除”就有“乘”，有“商”就有“积”，这正是数学美的独特表现。商一定有正比例，积一定就有了反比例。那么反比例关系中，相关联的两种量到底有什么变与不变的规律呢？ 【设计意图：数学有其独特的美，其中对称是数学美的重要方面。有“正”就有“反”，有“除”就有“乘”，有“商”就有“积”，……这类相对的、相反的思考不仅引出了后续的学习，也让学生领略了数学的对称美，渗透了人们看待事物的辩证眼光，以此引出“反比例”，让学生聚焦“积不变”。】 三、在“变”与“不变”的概括中，构建概念模型 出示表格（4）（6），仔细观察这两个表格，先独立思考，其中变化的是什么，怎么变化，不变的又是什么？然后再小组内交流。 学生小组内交流。 师：先看表格（4），谁愿意和大家交流一下。 生：速度变化，时间也随着变化。 生：速度减少，时间增加。 谁能具体说说？ 生：从左往右看，速度在减少，时间在增加。从右往左看，速度增加，时间减少。 师：真会观察，既进行了顺向观察，又会逆向观察，这是数学上重要的观察方法。 谁还有发现？ 生：速度×时间=路程 师：怎么看出来的？ 生：150×2=300，100×3=300，75×4=300，60×5=300 …… 师：有了数据的支撑，我们发现的规律就更有说服力了。回想一下，我们刚才是怎么观察的？ 小结：横着观察，我们发现，速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化。然后又竖着观察，我们发现变化中蕴含着不变，也就是速度×时间的积路程一定。（板书） 师：谁来交流一下表格（6）？ 生：从左往右看，每天生产的吨数增加，需要的天数减少。从右往左看，每天生产的吨数减少，需要的天数增加。 生：每天生产的吨数×需要的天数=总吨数，总吨数不变 师：每天生产的吨数随着天数的变化而变化。每天生产的吨数×需要的天数的积不变，也就是总吨数一定。 师：比较一下，每组中两种量变与不变的情况，有什么共同点？ 生：一个量变化，另一个量也变化 生：一个量增加，另一个量反而减少。 生：两个量相对应的数的积一定。 像这样的两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。这就是我们今天学习的《反比例的意义》（板书课题） 师：你觉得什么样的两种量成反比例关系？（生自由说，然后齐读定义） （指着板书）在这里，谁和谁成反比例？ 生：路程一定，速度和时间成反比例 总吨数一定，每天生产的吨数和需要的天数成反比例。 出示表（5），已读页数和剩下页数成反比例吗？ 生交流：积不一定，不成反比例。 提升：那想一想，能成反比例的两种量最为关键的是什么？ 生：相关联，积一定。 生活中成反比例关系的例子有很多，你能举一个例子吗？ 生：长×宽=面积（一定） 长方形的面积一定，长和宽成反比例 总价一定，单价和数量成反比例 …… 建模：这样的例子有很多。那可以怎样表示这种关系呢？ 如果用x和y分别表示两种相关联的量，用k表示他们的积（一定），反比例关系可以怎么表示？ xy=k（一定） 【设计意图：通过学生观察表格（4）和（6）中两种量的变与不变的规律，在比较中发现共同点揭示反比例的意义，然后通过表格（5）对比判断，抓住反比例的本质，最后通过学生举例，建构反比例的模型。在这个环节，围绕“变与不变”展开追问，加深学生的理解，在抽象概括中锻炼学生的思维，渗透函数思想。】 四、巩固拓展，应用概念 刚才我们在观察、分类、比较、交流中认识了反比例,考考你。 1.每页字数和页数成反比例吗？为什么？ 2.判断下面每题中的两种量是否成比例？成什么比例？ （1）煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数 （2）小明上学，已走的路程与剩下的路程。 （3）圆的直径和周长。 （4）差一定，被减数和减数。 学到这里，你觉得两种在什么情况下成比例？ 小结：首先是相关联的两种量，不相关联的量不成比例。 相关联的量之间：加——不成比例，减——不成比例，乘——成反比例，除——成正比例。 【设计意图：通过练习，使学生巩固判断两个量是否成比例的方法，引导学生对学习的知识进行梳理总结，培养学生综合运用知识解决问题的能力。】 五、课堂小结 这节课你有什么收获？ 生：我认识了反比例，知道了反比例的意义。 生：我学会了怎样判断两个量是成正比例还是成反比例。 ……