用Mathematica 研究自然对数的底数e作 者：陈 龙摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ieπ的关系。

本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。

关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。

自古以来，π的近似值一直取为 3.14或722()742851.3 =。

通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。

目前用电脑计算圆周率。

由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。

欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。

但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。

确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=xf 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。

e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ie π的关系。

本文主要介绍e 的一些知识以及用Mathematica软件来计算e 。

二、欧拉数e考虑数列{}n a ，n a =∑=ni i 0!1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。

首先，对n a =∑=ni i 0!1，显然{}n a 为单调递增数列。

其次，1a =2，2a =25，而3≥n 时， n a =1+1+n ⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+ 321432132121 <1+1+13221212121-++++n= 1+211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n<3，即数列{}n a 以3为一上界。

故有定理1知，数列{}n a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。

欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e 来表示此数。

后来符号e 就被广为采用，后人并称e 为欧拉数（Euler ’s number ）以纪念他。

由于e 为∞→n 时n a 之极限，故e 可表示为 （1） e =∑∞=0!1i i 。

以下说明如何以n a 来求e 之近似值，事实上n a 收敛至e 的速度极快。

这里借助一几何级数，对任意m n >，n a = m a +()()!1!21!11n m m +++++< m a +()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++--121111111!11m n m m m m < m a +()1111!11+-+m m= m a +!1m m ⋅ 故对∀m n >，（2） m a <n a <m a +!1m m ⋅ 。

若令∞→n ，则上式为（3） m a < e <m a +!1m m ⋅ ∀1≥m 。

即对∀1≥m ，m a 与e 之差最多为!1m m ⋅。

由于!m 随着m 增长速度极快，故m a 为e 的一个很好的估计值。

例如，若m =10，则10a 与e 之差小于710-，因此经由计算10a ，得到e =2.718281…。

N[a[10],50] 2.71828 N[E,50] 2.0N[a[10]-E,50] True当然若m 取大一些便可再更精确些，如e =2.3536028…。

这是欧拉用笔算得到的e 之小数前23位。

欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e 命名之，它的值为 2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。

e 是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对e 的估计式。

设e =q p /为一有理数，其中p ，q 为二互质正整数。

易见2≥q ，此因e 介于2与3之间，故e 不可能为整数。

现由（3）式知q a < qp<q a +!1q q ⋅ 。

将上式每项各乘以!q 得!q q a < ()1-q p ! < !q q a +q1<!q q a +1。

而由q a 之定义知，!q q a 为一整数，如此则得整数()1-q p !介于两相邻整数!q q a 及!q q a +1之间的矛盾结果。

故e 不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进e 的方法。

考虑数列n b =nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11 ，1≥n 。

则由二项式定理（Binomial Theorem ）可得n b = knk n k n ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=10=()()∑=+--nk k n k n n n k 011!1 = 1+1+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n 112111!111!21 = n a < 3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，n b 的每一项对n 递增，且1+n b 比n b 多一正的项，故{}n b 为一单调递增且有界数列必有极限。

故得证b b n n =∞→lim 存在。

接着证明e b =。

对n l >，仍由前述第三个等号之右侧可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++>l l n l n l b l 111!111!2111 。

若先固定n ，而令∞→l ，则上式左侧趋近于b ，而右侧趋近于n a 。

即此时有n a b ≥，而又有n n a b ≤，因此b a b n n ≤≤， ∀1≥n 。

令∞→n ，由夹逼定理，便得e b b n n ==∞→lim 。

也就是我们得到下述重要的极限结果：（4） 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

定理2.（夹逼定理）若三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z 从某项开始成立 n n n z y x ≤≤，0n n > 且a z x n n n n ==∞→∞→lim lim ，则a y n n =∞→lim 。

我们发现e 这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e 。

三、e 与自然对数中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作N lg 。

但科学上常用的对数却以一个无理数e =2.71828…为底，称为自然对数，记作N ln 或N log 。

早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier ）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。

他希望将每个正实数N 表示为某个给定的正实数a 的幂：N =na 。

如果N =na ，M =ma ，则N M ⋅=n m a +，M ，N 的乘法变成了m ，n 的加法。

根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即真数）N 与指数（即对数）n 之间的对应关系。

但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a 接近1。

比如取a =1.001。

还可以取更接近1的1.0001来代替1.001。

一般地，可以考虑n a =nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11作为对数的底，n 越大越好。

应用Mathematica 软件：观察当n 趋于无穷大时数列n a =n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11和n A =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 的变化趋势：Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求n a ，其中mn 10= Out[1]：=2.593742.70481 2.71692 2.718152.718272.71828 2.71828Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求n A ，其中m n 10= Out[2]：=2.85312 2.73186 2.71964 2.71842 2.7183 2.71828 2.71828由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：n a 随着n 的增大而增大，n A 随着n 的增大而减小。

pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[0,0,1]}] Graphicspic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[1,0,0]}] Graphicspic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[0,0,1]}] GraphicsShow[pic1,pic2,pic3] Graphics通过观察可以看到，当n 增大时n a =n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11递增，n A =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 增减。

随着n 的无穷增大，n a ，nA 无限接近，趋于共同的极限e =2.71828…，以这个e 为底的对数称为自然对数。

上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。

虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。

只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。

在科学中广泛应用以e 为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。

下面来研究与e 有关的极限。

①计算当nx -=10，7,6,5,4,3,2,1=n 时，()()()x x x /1lg +=λ的值。

Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.4342940.434294通过观察可以看到，当()∞→n x 趋于0时，()x λ趋近于某一个极限值λ。

λ就是常用对数x y lg =在1=x 处的导数。

它不是一个简单的数。

定义()x x f y lg 1-==λ，则()x f 在1=x 处的导数而()()x x x f a log 10lg /lg ==λ是以λ10=a ()e =为底的对数。

②计算λ10=a ()e =Do[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 11. 101. 1001. 10001. 100001. ③计算当nx -=10，7,6,5,4,3,2,1=n 时，()()()x x x /1ln +=μ的值。