用Mathematica研究自然对数的底数e

作 者：陈 龙

摘要：e是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e与被认为是数学中最重要的两个超越数，e、及i（i为虚数单位）三者间存在1ie的关系。本文利用Mathematica软件研究了自然对数的底数e，介绍了e的一些相关知识、e与自然对数的关系以及e的值的计算方法等。

关键词：Mathematica，e，自然对数

一、引言

远在公元前，圆周率就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，的近似值一直取为3.14或722742851.3。通过许多数学家的努力，的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e，它取自瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，„„截然不同。确切地讲，e应称为“自然对数aelog的底数”。

e与被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number，若一数为0xf之根，其中f为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number），否则称为超越数）。e、及i（i为虚数单位）三者间存在1ie的关系。本文主要介绍e的一些知识以及用Mathematica软件来计算e。

二、欧拉数e

考虑数列na，na=nii0!1=!1!21!111n，1n，其中!n=1231nn，1n，1!0，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列na为单调且有界，则当n时，aan（a为一有限数）。

首先，对na=nii0!1，显然na为单调递增数列。其次，1a=2，2a=25，而3n时，

na=1+1+n321432132121

1+1+13221212121n

= 1+211211n3，

即数列na以3为一上界。故有定理1知，数列na收敛至一实数，由于此极限值与圆周率一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e来表示此数。后来符号e就被广为采用，后人并称e为欧拉数（Euler’s number）以纪念他。由于e为n时na之极限，故e可表示为

（1） e=0!1ii 。

以下说明如何以na来求e之近似值，事实上na收敛至e的速度极快。这里借助一几何级数，对任意mn，

na= ma+ !1!21!11nmm

 ma+121111111!11mnmmmm

 ma+1111!11mm

= ma+!1mm

故对mn，

（2） manama+!1mm 。

若令n，则上式为

（3） ma ema+!1mm 1m 。

即对1m，ma与e之差最多为!1mm。由于!m随着m增长速度极快，故ma为e的一个很好的估计值。例如，若m=10，则10a与e之差小于710，因此经由计算10a，得到e=2.718281„。

01[_]!niani

N[a[10],50]

2.7182818011463844797178130511463844797178130511464

N[E,50]

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000

N[a[10]-E,50]

82.731266075564247442020627801803943404255357509524910

7[10]10aE

True

当然若m取大一些便可再更精确些，如e=2.71828182845904523536028„。这是欧拉用笔算得到的e之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e命名之，它的值为2.71828„，它的常用对数为0.4342944„”。

e是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对e的估计式。设e=qp/为一有理数，其中p，q为二互质正整数。易见2q，此因e介于2与3之间，故e不可能为整数。现由（3）式知

qa qpqa+!1qq 。

将上式每项各乘以!q得

!qqa 1qp!  !qqa+q1!qqa+1。

而由qa之定义知，!qqa为一整数，如此则得整数1qp!介于两相邻整数!qqa及!qqa+1之间的矛盾结果。故e不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进e的方法。考虑数列

nb=nn11 ，1n。

则由二项式定理（Binomial Theorem）可得

nb= knknkn10

= nkknknnnk011!1

= 1+1+nnnnnn112111!111!21

 nkk0!1

= na  3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，nb的每一项对n递增，且1nb比nb多一正的项，故nb为一单调递增且有界数列必有极限。故得证bbnnlim存在。

接着证明eb。对nl，仍由前述第三个等号之右侧可得

llnlnlbl111!111!2111。 若先固定n，而令l，则上式左侧趋近于b，而右侧趋近于na。即此时有nab，而又有nnab，因此

babnn， 1n 。

令n，由夹逼定理，便得ebbnnlim。也就是我们得到下述重要的极限结果：

（4） 1lim1nnen 。

定理2.（夹逼定理）若三个数列nx，ny，nz从某项开始成立

nnnzyx，0nn

且azxnnnnlimlim，则aynnlim。

我们发现e这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e。

三、e与自然对数

中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作Nlg。但科学上常用的对数却以一个无理数e=2.71828„为底，称为自然对数，记作Nln或Nlog。

早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。他希望将每个正实数N表示为某个给定的正实数a的幂：N=na。如果N=na，M=ma，则NM=nma，M，N的乘法变成了m，n的加法。根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即真数）N与指数（即对数）n之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a接近1。比如取a=1.001。

幂（真数）N 1.001 1.002001 1.003003 „ 1.009036084 1.01004512 1.020191145 „

指数（对数）n 1 2

3 „ 9 10 20 „

不难看出,用接近于1的a=1.001为底编制对数表要比以10为底优越。同时为了提高精确度，还可以取更接近1的1.0001来代替1.001。一般地，可以考虑na=nn11作为对数的底，n越大越好。

应用Mathematica软件：观察当n趋于无穷大时数列na=nn11和nA=111nn的变化趋势：

Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求na，其中mn10

Out[1]：=2.59374

2.70481

2.71692

2.71815

2.71827

2.71828 2.71828

Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求nA，其中mn10

Out[2]：=2.85312

2.73186

2.71964

2.71842

2.7183

2.71828

2.71828

由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：na随着n的增大而增大，nA随着n的增大而减小。

pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

1.522.533.52.622.642.662.682.72.72

Graphics

pic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}]

1.522.533.52.722.742.762.782.822.84

Graphics

pic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

1.522.533.512345

Graphics Show[pic1,pic2,pic3]

1.522.533.52.7052.7152.722.7252.73

Graphics

通过观察可以看到，当n增大时na=nn11递增，nA=111nn增减。随着n的无穷增大，na，nA无限接近，趋于共同的极限e=2.71828„，以这个e为底的对数称为自然对数。

上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。

在科学中广泛应用以e为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。

下面来研究与e有关的极限。①计算当nx10，7,6,5,4,3,2,1n时，xxx/1lg的值。

Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

0.413927

0.432137

0.434077

0.434273

0.434292

0.434294

0.434294

通过观察可以看到，当nx趋于0时，x趋近于某一个极限值。就是常用对数xylg在1x处的导数。它不是一个简单的数。定义xxfylg1，则xf在1x处的导数

111lim0xfxfx

而xxxfalog10lg/lg是以10ae为底的对数。

②计算10ae

Do[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

11.

101.

1001.

10001.