3.14 (1.3102 )4
5.97 104（Pa s m3 )
P QRf 1.00104 5.97104 5.97 (Pa)
可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不 足道的
2、斯托克司定律
分析：当物体在粘性流体中作匀速运动时，物体表面附着一层 流体，此层流体随物体一起运动，因而与周围流层之间存在内 摩擦力，所以物体在运动过程中必须克服这一阻力。如果物体 是球形的，且流体对于球体作层流运动，则球体所受的阻力为
s 2 h(H h)
若有相同射程，即有s=s'
解得
h'=H-h
（3）要使s最大，只要求s的极大值即可
求得
最大射程为Ｈ
h H 2
三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）
如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得
P1 gh1 P2 gh2
高处压强小，低处压强大
解释体位对血压的影响 可见测血压要注意体位
f 6vR
斯托克司定律
说明：R是球体的半径，v是球体相对于流体的流速， η是 流体的粘度
设在粘性流体内一半径为R的小球受重力作用而下沉，
小球所受合力为
F 4 R3 g 4 R3g 6vR
3
3
小球在合力作用下加速下沉，速度增加，同时随速度增加， 阻力也愈来愈大，最后合力为零，它将作匀速运动。此时有
3、雷诺数 雷诺数Re 说明：
Re vr
（1）Re < 1000时，流体作层流
（2）Re > 1500时，流体作湍流
（3）1000 < Re < 1500时，流体流动不稳定
例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘度、密度
分别为0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷诺数并判断
第四节 粘性流体的流动
一、粘性流体的运动
1、层流和湍流
层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间 只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械 能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。
图2-11 粘性流体的流动
湍流：当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分 层流动状态，而变成无规则的运动，这时流体的流动有垂 直管轴的分速度，而且还会出现涡流，整个流动显得杂乱 而不稳定
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。
P Q
Rf
式中
Rf
8L R 4
称为流阻
其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积 流量与管子两端的压强差成正比，而与流阻成反比。
值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小 变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其 半径变化对血液流量的影响是很显著的。
流阻的单位： 流阻的串并联
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
由以上3式，解得流量为
Q S1v1 S2v2 S1S2
2( )gh (S12 S22 )
二、流速和高度的关系（小孔流速）
实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S'代 替S，则有
Q Sv S 2gh
例2-2 一开口水槽中的水深为H，如图例2-2所示。在水面下h 深处开一小孔。问：（1）射出的水流在地板上的射程S是多 大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的 水流有相同的射程？（3）小孔开在水面下的深度h多大时， 射程最远？射程多长？
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。
第二章 流体的运动
流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
第一节 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可缩体，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
第二节 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性方程
2、牛顿粘滞定律 f S dv 牛顿粘滞定律
dx
说明：
图2-12 粘性力 速 度梯度
（1）dv/dx表示速度梯度，S表示层与层的接触面积，η为流体的粘度 （2）粘度的物理意义：速度梯度为1时，单位面积上的粘滞阻力 （3）粘度的单位：Pa.s （4）粘度的大小由流体的性质和温度决定 （5）牛顿流体和非牛顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水 和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液
Pa s m3
R f R f 1 R f 2 R fn
1 1 1 1
Rf Rf1 Rf2
R fn
例2-4 成年人主动脉的半径为。问在一段距离内的流阻和压 强降落是多少？设血流量为 ， 1.00104 m3 s1 3.0 10 3 Pa s
解：
Rf
8L
R 4
8 3.0 103 0.2
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
第三节 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
图2-13 粘性流体在水平管中的压强分布
结论：要使粘性流体匀速流体，两
端必须有压强差
1、泊肃叶公式 粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数
不大，则流动的形态是层流。
泊肃叶公式： 说明：
图2-14 泊肃叶公式的 推导
Q R 4P 8L
式中R是管子的半径，η是流体的粘度，L是管子的长度。
泊肃叶公式又可写成如下形式
图2-9 小孔流速
对于任一流线，由伯努利方程得
由上式得
p0
gh
p0
1 2
v 2
v 2gh
结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速 度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里 斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它 反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势 能与动能之间的转换关系。
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。