对平面有限图形对成群的研究和 分类，发现只可能出现如下6种 不同情形
（1）仅由单位（恒等或不动）变换所组成 的对成群K1 。这是任意非对称图形的对成 群。
（2）由单位变换及关于某一直线 的翻折组成的对称群K2 。
（3）只有一些旋转组成的对成群K3，但 其中不含作任意小角度的旋转情况。
（4）只有一些旋转组成的对成群K4，但它 含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角 度α的旋转仍属于群K4。这里的所有的运动 或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的 翻转。这是平面上有方向的圆环的对成群。
群在中学数学中的实例
（1）全体整数、全体有理数、全体实数、 全体复数，关于通常的加法都构成群，单位 元是0，a的逆元素是-a. 正有理数全体，正实数全体，关于通常的乘 法也都构成群，单位元都是1， a的逆元素 是1/a. （3）由整数1和－1组成的集合， 关于乘法 构成群。
生活中的群
图形的对称与群 数系Biblioteka 扩充 同余 数学证明对称与群
一.对称 1.1.人们身边充满了对称:
比如:
对称与群
以上我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识， 下面（主要是封闭的平面图形）要考虑如何把它们当中共 同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。 什么是对称的共性？什么是对称的本质？ 下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“元多 项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于 “对称”的统一的本质。
f 2 x1 x2 0 x3 f 4 x1 x2 x1 x3 x2 x3
| S ( f1 ) | 2 | S ( f 2 ) | 1 | S ( f3 ) | 3 | S ( f 4 ) | 6
群的定义（定义4）
所谓群，是指一个特定的集合，该集合上的一种运算满足一定的 性质. 具体来说，即： G是一个群，是指 （1） G是一个集合； （2）存在二元运算（记为 ），它是 G G G的一个映射； （3）关于二元运算满足群公理 r , s, t （i）结合性公理 对的任意元素 ，都有 r (s t ) (r s) t ； （ii）单位元素公理 在G中存在元素，使得对G中任何元素，都 1 1 有 rr r r e （iii）逆元素公理 对G的任何元素，都存在G中的唯一元素 ， 1 r e er r 使得 r .
对称与群
二:平面图形的对称 2.1 在运动中看 “对称”
正三角形与正方形谁“更”对称一些？
正方形绕中心旋转
顺时针旋转 90°
r1
如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?
定理1（几何形式M.Chasles(1793-1880)） 平面的运动有且仅有下列三种：
沿任一给定向量的平移； 以任意点为中心的旋转； 绕某以直线作翻摺后再沿该直线 上的一个向量作一平移（包括作 纯翻摺）。
同余概念
复数不能比较大小
序结构（代数结构 拓扑结构） 大小序
对于复数集来说，可以按字典顺序排成全 序，但不能满足保序性，因此无法比较大小. 先证明复数集C可按字典顺序排成全序 任意α, β∈C α=x1+y1i ，β=x2+y2i=规 定

但是乘一切正数的保序性不满足。
这里一切正数是指复数中按字典顺序 η=（x，y）＞（0，0）， 而（x，y）＞（0，0），x>0或x=0，y>0。 ▲复数不能保证乘任何“正数”保序。 反例：i即（0，1），显然（0，1）＞（0，0） 但（0，1）*（0，1）＜（０，0） * （0，0）。 （-1，0）＞ （0，0）
（5）设在平面上有n条过重心o点的直线， 这些直线分平面为2n个等角。对称群K5由 360 关于这些直线的n种翻转以及绕o旋转 2n 的倍角而生成。具有这样对称群的图形包 括正2n边形。
0
（6）由绕o点所有旋转及关于所有过o点的直 线的翻转生成的对成群K6 。无方向圆及无方 向圆环可作为它的例子。
r2
顺时针旋转 90° 累积180°
正方形绕中心旋转
r3
顺时针旋转 90° 累积270°
正方形绕对边中点连线（铅直）翻摺
f1
正方形绕对边中点连线（水平）翻摺
f2
正方形沿对角线翻摺
f3
正方形沿对角线翻摺
f4
正方形的对称群是由下列平面 运动组成 S（正方形）={I，r1，r2， r3，f1，f2，f3，f4}
数系的扩充
N→ Z→ Q→R→ C
元素 运算
数系扩充的方法： 初等数学→ 添加元素 高等数学→ 构造法（目的、造元、嵌入） 构造：造元、定义运算、解决运算 利用商集造元 数系扩充后的得失
加法
N Z Q R C √ √ √ √ √
减法
√ √ √ √
乘法
√ √ √ √ √
除法
开方
极限
√ √ √ √ √
例、四元旋转群. 记G={L、R、H、I}，其中L 表示向左转，R为向右转，H为向后转，I为 不动. 上定义的二元运算×为“接着”，如 L×R表示先向右转再接着向左转，其余类推. 容易验证，G关于这一运算确实构成一个群
正方形绕中心旋转
顺时针旋转 90°
r1
如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?
正方形绕中心旋转
数系的扩充 解决的问题
失去的性质
最小数原理
→Z Z→Q Q→R R→C
N
减法运算封闭
除法运算封闭
极限运算封闭 一元n次代数方程 的根的存在
离散性
可数性 顺序性（大小 序）

自然数的性质 整数的性质 有理数的性质 无理数的性质 实数的性质 复数的性质
质数的基本性质 质数的排列有否规律
对称与群
抽象观点与具体例子的对照
对称与群
描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法. 这就是 把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起, 构成 一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”. S(f)中元素 个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.
f1 x1 x2 0 x3 f3 ( x1 x2 )( x1 x3 )( x2 x3 )