姆●　
高教视野　
谈　翁　
◎韩贵琴　（内蒙古通辽职业学院，内蒙古通辽０２８０００）　
【摘要】不定积分计算方法多种多样且技巧性强，为使　
学生更好选择积分方法计算不定积分，将高等数学中各种　
计算不定积分的基本方法加以详细地讲解，并梳理和归类．　
【关键词】不定积分；直接积分法；换元积分法；分部积　
分法　

一
、

直接积分法就是利用基本积分公式和性质求不定积　

分的方法．用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分．　

例１．１　Ｉ２＊ｅ　ｄｘ．　
解　这个积分虽然在基本积分公式中查不到，但对被　
积函数稍加变形，化为指数函数形式，就可利用基本积分公　
式，直接求其积分．　
ｄｘ＝＿『（２ｅ）　ｄｘ＝　＋ｃ＝　＋ｃ．　

．
２　Ｊ．（２　３　３　）ｄｘ＝ｆ２２；３ｄｘ—Ｊ．÷　＋ｆｅｘｄｘ　

＝
２　Ｊ　ｄｘ一３　Ｊ　一　＋Ｉｅｘｄｘ＝—　一３１ｎｌ　Ｉ＋ｅ　＋ｃ．　
上面求得不定积分的同时，得到了三个积分常数，注意　
到积分常数事实上为实数集合，因为有限个实数集合的和　
仍为实数集合，因此只需在求出最后一个不定积分的原函　
数之后加上一个积分常数Ｃ即可．　二、利用基本积分公式和性质。只能求出一些比较简单　的积分．对于比较复杂的积分，可通过适当变量代换。把被　积表达式变成较简单（或较易求出积分）的新变量进行积　分，最后将原变量代回．　１．第一换元积分法（凑微分法）适用于被积函数中含有　复合函数的积分问题；解题的基本思路是把积分变量凑成　复合函数中的中间变量，即　一ｄ“；凑中间变量的方法是　ｕ　ｄｘ＝ｄｕ；再利用积分公式求解不定积分．　例２．１求ｊ　．　解　将　凑为ｄｘ＝—　１　ｄ（３＋２　），设“＝３＋２　，则　』　＝　＝ｌｆ　ｄ．２ｘ　２＝　２－ｎ－“　Ｊ　３＋２　２　Ｊ　３＋　…。…’　＝÷ｌｎ　Ｉ　３十２ｘ　Ｉ＋ｃ．　注意：（１）一般地，ｆ　＝ｌ－－ｌｎ　Ｉ　ａｘ＋ｂ　ｌ＋ｃ．　Ｊ　ａｘ十０　ａ　（２）凑微分运算熟练后，可以不写出中间变量　２．第二换元积分法适用于被积函数中含有根式，且被　开方式为一次函数的积分问题；解题的基本思路是首先令　嬲＋ｂ＝ｔ，从中解出　并求出ｄｘ，其次把　和ｄｘ带入被积　表达式，再利用积分公式求出积分变量为ｔ的不定积分，最　后把ｔ还原为　的表达式．　例２．２求ｆ　兰　３　＋１　解　令ｔ＝　丽，即　：　，则ｄｘ＝ｔ２ｄｔ，代入　后，得Ｊ．　÷Ｊ．（　＋２　＝告＋孚＋ｃ　＝古　＋÷　＋ｃ　＝÷　・（　＋２）＋ｃ．　注意：被积函数中含有被开方因式为一次式的根式　Ｙ￣７＋ｂ。时，令　＝ｔ，可以消去根号，从而求得积分．　例２．３求ｆ　。　一２；２ｄｘ（０＞０）．　解　利用三角变换去根式．令　一ｎｓｉｎ　（一手＜　＜詈），则ｄ　＝…　ｄ，　于是，ｆ　【　：　＿二　￣ａｃｏｓｔｄ￡：ａ２　ｆｃｏｓ　ｄ　＝等』（　＋ｃｏｓ２ｔ）ｄ　＝等（　＋　１　ｓｉｎ２　）＋ｃ　＝寺（￡＋ｓｉｎｆｃ０ｓｆ）４－ｃ．　再把ｔ回代成　的函数，得　』　＝等ａｒｃｓｉｎ詈＋号　＋ｃ．　一般地说，当被积函数含有　
（１）　０　一　，可作代换　＝ａｓｉｎｔ；　
（２）　ｏ　＋　，可作代换　＝ａｔａｎｔ；　
（３）￣／　一ｎ　，可作代换　＝ａｓｅｃｔ．　
通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重要　
组成部分，但在具体解题时，还要具体分析．　
三、分部积分法就是在积分与微分的互逆运算中，复合　
函数的求导与换元积分法对应，而乘积的求导法则对应的　
逆运算．　

例３．１　求ｆ　ｅ　ｄｘ．　
解　设“＝　，ｄｖ＝ｅｘｄｘ，则ｄｕ＝ｄｘ，　＝ｅ　，于是　
Ｊ２５ｅ　ｄｘ＝２；ｅ　一Ｉｅｘ　＝２；ｅ　一ｅ　＋ｃ＝ｅ　（　一１）＋ｃ．　
由此可见，恰当选取ｕ和　是关键，注意以下两点：　
（１）Ｖ要容易求得；　

（２）Ｊｖｄｕ比Ｊｕｄｖ容易积分．　
最后，特指出，虽然求不定积分是求导的逆运算，但是，　
求不定积分远比求导困难得多，对于任给一个初等函数，只　
要可导肯定能求出它的导数．然而某些初等函数，尽管它们　
的原函数存在，却不一定能用初等函数表示．　

【参考文献】　
［１］曾捷．数学分析同步辅导及习题全解［Ｍ］．上册．上　
海：华东师范大学出版社．２００６．　
［２］钱椿林．高等数学［Ｍ］．北京：电子工业出版　
社，２００２．　

数学学习与研究２０１６．２１　

复。　●＿－　●