嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届）

题 目： 有理数域上的多项式的因式分解 姓 名： 江志会 学 号： 101010100 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 许鸿儒 申请学位： 学士学位

嘉应学院教务处制 摘 要 在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。 关键词：有理数域, 可约, 因式分解 Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words： rational number field, reducible, factorization

目 录 1 有理数域上的多项式基本内容 ............................................... i 1.1 多项式因式分解的基本概念 ............................................ 1 1.2 本原多项式 .......................................................... 2 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 ........................................ 5 2 多项式的有理根及因式分解 ................................................. 7 2.1多项式在有理数域上的性质 ............................................. 7 2.2多项式有理根的判定 ................................................... 8 2.3多项式有理根的求法及因式分解 ........................................ 10 2.4因式分解的特殊解法 .................................................. 12 参考文献 ................................................... 错误！未定义书签。 有理数域上的多项式的因式分解

1 1 有理数域上的多项式基本内容

1.1 多项式因式分解的基本概念 在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5315；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义： 定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。

例1 分解44x的因式 在有理数域中，它的分解式是：)2)(2(22xx，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：)2)(2)(2(2xxx，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：

)2)(2)(2)(2(ixixxx。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，

再理解其不能再分的含义。 所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。

定义1.1.2 给定XF 的任何一个多项式 )(xf， 对于F 中的任何一个不为零的元素

c。c是)(xf 的因式。c)(xf 也是)(xf 的因式，我们把)(xf

的这样的因式叫作它的平

凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。

例2。设2)3)(2(3)(),1(2)( xxxgxxf

由定义可以知道)(xf只有平凡因式，xg有非平凡因式 因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。

有理数域上的多项式的因式分解 2 1.2 本原多项式

定义1.2.1 若是一个整系数多项式)(xf系数互素，那么)(xf叫作一个本原多项式。 引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 证 设给了两个本原多项式

mmiixaxaxaaxf10)(

nnjjxbxbxbbxg10)(

并且 nmnmjijixcxcxccxgxf10)()(

如果)()(xgxf不是本原多项式，那么一定存在一个素数p，它能整除所有系数

,10,cc,…mnc , 由于)(xf和)(xg都是本原多项式，所以p不能整除)(xf的所有系数，也

不能整除)(xg所有系数。令ai和bj各是)(xf和)(xg的第一个不能被p整除的系数。我们考察)()(xgxf的系数 jci,们有 011110bababababacjijijijijiji 这等式的左端被p整除。根据选择ia和jb的条件，所有系数10,iaa以及01bbj 都能被p整除，因而等式右端除iajb这一项外，其它每一项也都能被p整除。因此乘积ia

jb

也必须被p整除。但p是一个素数，所以p必须整除ia或jb.这与假设矛盾。 设)(xf是有理数域上的一个多项式。若是)(xf的系数不全是整数，那么以)(xf系数分母的一个公倍数c乘)(xf，就得到一个整系数多项式)(xcf。显然，多项式)(xf与)(xcf

在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。

设011)(axaxaxaxfninnn是有理系数多项式，选取适当的整数c乘以

)(xf，总可以使)(xcf是整系数多项式，如果)(xcf的各项系数有公因式d，可以提出来，即)()(xdgxcf，)()(xgcdxf，其中)(xg是各项系数互质的整系数多项式。 有理数域上的多项式的因式分解 3 例3 )6155(15252232)(2424xxxxxf，这里 6155)(24xxxg。 所以[]Qx中的非零多项式，与[]Zx中的本原多项式有紧密的联系。 定理1.2.1 设()[]fxQx，且()0fx。则存在一个有理数0a使()afx是[]Zx中本原多项式。此外，如果有理数0b，使()bfx也是本原多项式，则ab。 实际上，设1110()...nnnnfxaxaxaxa，这里naaa,......,10都是有理数且0na。取整数c使01,,......ncacaca都是整数，并令01(,,......)ndcacaca，则

01()......nncacaca

c

fxxxdddd

便是[]Zx中本原多项式。 此外，如果有理数,ab，使()()afxgx，及()()bfxhx都是本原多项式，则()()bgxhxa，因(),()gxhx都是本原的，故ba必须是整数，并且没有素因子，从而1ba，即ab。这表明，[]Qx中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。 定义1.2.2 设()[],deg1fxZxf。如果()fx在Z上仅有平凡因式的分解，即不能分解为[]Zx中两个正次数多项式的积，则称()fx为[]Zx中不可约多项式。否则称()fx在[]Zx上可约(或可分解)。 例4 22x是不可约的，而222x在Z上可约。

研究()fx在Z上是否可约，显然只需考虑()fx是本原多项式的情形。我们注意到，如

果()fx在Z上可分解，因ZQ，则它在Q上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的结论也成立。 定理1.2.2 设()fxxZ是本原多项式，如果()fx在Q上可约，则()fx在Z上也可约。

确切地说，设()()()fxgxhx，这里(),()[]gxhxQx，且deg,deg1gh，则存在有理数a使得： 1()()()fxagxhxa, 且 1(),()[]agxhxZxa 有理数域上的多项式的因式分解 4 事实上，由定理1.2.1知，存在有理数,ab，使得1()()agxgx和1()()bhxhx都是本原多项式。于是

11()()()abfxgxhx 由引理1.2.1，11()()gxhx是本原多项式，而()fx也是本原多项式，故ab必须是整数，且没有素因子，即1ab。因此，()agx和1()hxa都是(本原的)整系数多项式，证毕。 因此，xZ中的多项式在Z上是否可约，与它在Q上是否可约是一回事。 定理1.2.3 若是一个整系数n(n>0)次多项式()fx在有理数域上可约，那么()fx总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。 证明： 设

)()()(21xgxgxf 这里)(1xg与)(2xg都是有理数域上的次数小于n的多项式。令)(1xg的系数的公分母

是1b .那么)(1xg=)(11xhb,这里)(xh是一个整系数多项式。又令)(xh的系数的最大公因数是1a那么 )()(1111xfbaxg 这里11ba是一个有理数而)(1xf是一个本原多项式。同理， )()(2222xfbaxg 这里22ba是一个有理数而)(2xf是一个本原多项式。于是 )()()()()(21212121xfxfsrxfxfbbaaxf 其中r与s是互素的整数，并且0s。由于()fx是一个整系数多项式所以多项式)(1xf)(2xf

的每一系数与r 的乘积都必须被s整除。但r与s 互素，所以)(1xf)(2xf的每一个系数必