（2.3.3）
（2.3.4）
满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为 止点区。
1.3.2 滑模变结构控制的定义
有一控制系统状态方程为
x f ( x, u, t ) x n u
需要确定切换函数
s( x )
s
（2.3.5）
（2.3.6）
求解控制作用
u ( x ) , u ( x ), s( x ) 0 s( x ) 0
研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨 论高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限 及二次型切换函数的情况。 1977年：
Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文， 系统提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的方法。
1.2 滑模变结构控制发展历史 此后
各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由规范空 间扩展到了更一般的状态空间中。
lim s 0 s 0 slim s 0 0
（2.3.2）
式（2.3.2）称为局部到达条件。
1.3.1 右端不连续微分方程
对对局部到达条件扩展可得全局到达条件：
ss 0
相应地，构造李雅普诺夫型到达条件：
1 V s2 2 V 0
注：选取原则是保证系统状态点远离切换面时具有较快 趋近速度，由于过大趋近速度会导致剧烈抖振，是以适 当选择f(s)，使系统以适当速度趋近切换面。
1.3.5 滑模变结构控制的特点
（1）滑动模态运动具有完全自适应性。 不受系统摄动和外界扰动的影响。滑模变结构控制 系统的最突出的优点，成为它受到重视的最主要原因。 （2）存在的问题—抖振。 不可避免的惯性等原因使得系统在光滑滑动模态上 叠加了一个自振，这是滑模变结构控制理论尚存在的一 些问题中最突出的问题。
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例
设二阶系统的运动微分方程为
x y y 2y x u
u x
其中： 4, xs 0
4, xs 0
s 0.5x y
x, y 为状态变量
4 x, xs 0 由于控制作用 u x 4 x, xs 0 的引入， 系统从整体上看是一个非线性系统。
1.3.1 右端不连续微分方程
微分方程在 s( x ) 0上没有定义，因此需确定其上系 统微分方程：
x f ( x , u0 ) s( x )=0
（2.3.2）
独立变量变为n-1个，滑模面上方程较原方程阶数降低。
我们称 s( x ) 0为不连续面、滑模面、切换面。它将 状态空间分为两部分，如图2.3.1所示。
我国学者贡献： 高为炳院士等首先提出趋近律的概念，首次提出了自由 递阶的概念。
滑模控制对系统的参数摄动和外部干扰的不变性是以控制 量的高频抖振为代价。
1.3 滑模变结构控制基本原理
1.3.1 右端不连续微分方程 一般地，具有右端不连续微分方程的系统可以描述为
x f ( x, u )
x n u
滑模变结构控制
讲课人：林建平
滑模变结构控制基础

1.1 滑模变结构控制简介 1.2 滑模变结构控制发展历史 1.3 滑模变结构控制基本原理
1.4 滑模变结构控制抖振问题
1.5 滑模变结构控制应用
1.1 滑模变结构控制简介
1.1.1 变结构控制（VSC）概念 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控 制作用的不连续性。与其他控制策略的不同之处：系统 的“结构”并不固定，而是在动态过程中，根据系统当
1.5 滑模变结构控制的应用
1. 在电机中的应用 2. 在电力系统中的应用 3. 在机器人中的应用 4. 在航天器中的应用 5. 在伺服系统中的应用
（2.3.7）
滑模变结构控制三要素：
(1)满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限 时间内到达切换面； (2) 滑动模态存在性； (3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质。
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例 为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌， 下面简述一个二阶系统例子。
前的状态有目的地不断变化。
结构的变化若能启动“滑动模态”运动，称这样的 控制为滑模控制。注意：不是所有的变结构控制都能滑
模控制，而滑模控制是变结构控制中最主流的设计方法。
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
1.1 滑模变结构控制简介
1.1.2 滑动模态定义 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为
二阶系统用相平面方法进行研究，可以获得系统的 全部的动力学特性。继电系统，以及更一般的分区线性 化方法，实际上已蕴含着变结构控制的概念。 特别有吸引力的是系统的结构可以有一个或两个本 身是不稳定的，但通过适当切换，组成一个滑模变结构 系统，可以赋予它良好的动态特性（第一章介绍的例 子）。二阶系统的分区线性化相平面方法、继电系统的 滑动运动等促成了滑模变结构控制理论的产生。
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
图2.3.1
1.3.1 右端不连续微分方程
在切换面上的运动点有3种情况。
(1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点 穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图2.3.1中点 A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起 点，如图2.3.1中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图2.3.1 中点C所示。
滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源
于此。 1.1.3 系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型， 称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
1.1 滑模变结构控制简介
1.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快 速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统
Ⅱ
x
图2.3.3
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例
将两个区域的相图叠加得到整个系统的相图，如图 2.3.4所示。
y
Ⅰ
x
Ⅱ
图2.3.4
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例
s 切换线为： 0.5 x y 0
不难看出切换线上的全部点都是止点，即是说，直线 就是滑动模态区。当状态点到达切换线时，状态点将满 足切换线方程： x y 0 ,带入 y x 可得滑动模态 0.5 运动微分方程：
x0
O
A
s( x ) 0
图2.3.5
1.3.4 滑模变结构控制的品质
滑模变结构控制的品质取决于这两段运动的品质。 由于尚不能一次性地改善整个运动过程品质，因而要求 选择控制律使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数使滑动模态运动段的品质改善。两段 运动各自具有自己的高品质。 选择控制律 u ( x) :使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数 s( x ) : 使滑动模态运动段的品质改善。 此处，讨论正常运动段的品质问题（滑动模态运动 段由其微分方程决定），要求趋近过程良好，可采用趋 近律方法来保证品质。
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例
利用相平面知识和非线性系统分区线性化方法将系统 xs 相平面分成Ⅰ区： 0和Ⅱ区： 0 。相应微分方程 xs
Ⅰ：x
y, y 2 y x 4x 2 y 5x Ⅱ：x y, y 2 y x 4 x 2 y 3x
y
Ⅰ
x
对于Ⅰ区：
图2.3.2 其特征根为1,2 1 2i，原点是不稳定焦点，相应的相 图如图2.3.2 所示
系统方程为：x 2 x 5 x 0
1.3.3 二阶滑模变结构控制实例
对于Ⅱ区：
系统方程可表示为： 2 x 3x x
y
0
其特征根为 1,2 1, 3 ，原点是不稳定焦点，相应的相 图如图2.3.3 所示
在线辨识、物理实现简单。
1.1.5 滑模控制缺点
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
1.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代： 前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。 20世纪60年代：
f ( x, u ) f ( x, u ), s( x ) 0 f ( x, u ) f ( x, u ) f ( x, u ), s( x ) 0
（2.3.1）
其中： s( x) s( x1 , x2 ,..., xn ) 是状态的函数，称为切换函数。满足 x x) f ( x, u ) 可微分，即 存在。 dsd(微分方程的右端不连续，结构 t s( x 变化得到体现，即根据条件 的正负改变结构 ) 为 f ( x, u ) f ( x, u ) 一种系统结构， 为另一种系统结构。从而满足一 定的控制要求。
1.3.4 滑模变结构控制的品质
几种常见趋近律： （1）等速趋近律
s sgn(s)
0
（2）指数趋近律
s sgn(s) ks 0, k 0
（3）幂次趋近律
s k s sgn(s)

0 1
0
（4）一般趋近律 s sgn(s) f (s)
s(x)>0 A B C s(x)=0