即 ｓ ＋ ｃｓ ： ｓ ＣＳ 令 ｊ ｎ ｏ ｉ Ｏ ， ｎ
Ｓ１ ｎ
ＣＯＳ
・ ・ ・
差ｎ ２ｓ ＿， ｓ２ ２ ３ ｉ ｃ ｚ ０
ｓ （ｘ一 ＝３ ｉ ２ ） ，其中 为锐 ｎ
ｓ ｔＣＳ ：ｔ 由０＜ ＜ ７知 １ ｉ ｚ－ Ｏ ｎ － （ １ ＜ｔ ／ ） ≤、２，
ｓｎｘ ＋ ｃ ｉ ｏｓｘ
－
，
ｓ ｚ （ ＣＳ ～２ ｉ Ｘ ＝ １ 展开并整理得 ｉ ） Ｏ ｎ ３ ｎ ） ． ｓ
４Ｃ Ｓ 一 ７ｓ ｎ Ｃ Ｓ ＝ 一１， … Ｏ。 ｉ Ｏ
‘ ．
…
…
…
…
．
（）
．
２１ ｏ ） ｓ （ ＋ｃｓ ｘ 一 ｉ２ ２ ｎ ｘ＝一１ ，
ｔｎ ＝ ２ Ｏ 且 Ｃ Ｓ ＋ ｃ ｔ ＝ ２ ａ ， ａ ＣＳ Ｏ ｏ ｔｎＸ 两式 相 加得 ｓｎ ＋ ＿ Ｓ ＝ Ｃ Ｓ ｉ Ｃ Ｘ Ｏ Ｏ Ｘ＋ 里ｎ 即 ｓ ＿ ， ｉ ｎｘ—
ｃ０ｓ ＝ —ｌ Ｘ ｓｎ
—
【 解析】 思路一： 若存在这样的 使得 ｓ ， ， ｉｚ ｎ
３ ３ —ｅ
数 学教 学
２１ 年第 ３ ０１ 期
一
道 自主 招生试 题 多种 解题 思路 的思考
２ １ 江苏省无锡市江南大学理学院 谢广喜 １２ ４２
【 试题】（０ ０ ２ １ 年北京大 学 自主招生考试数
三二 一 ＝
，
学卷４是存 ∈，， ｓ， 试第 ） 在 （）得 题否 。 使ｉ 三 ｎ
ｃｔ ｏ 等 差数 列 ． 思路一、二与思路
・
．
．
＝
去ｃ ｇ＋ ａａ ． ａｓ６ｇ ｒｎ ｒｎ ｃ ｉ４ ｔ４ ７
三 的结 果 截 然 不 同， 底 哪 种解 法 是 对 的 呢？错 到
误 的 解法 又错 在 哪 里呢 ？
由 ａｓ ＋ ａａ ∈ 于 ＝ ｒｉ ｃ ｒｎ ｎ ｃ等 ｔ
则 ｔ ｓｎＸＣ Ｓ ＝ ＝ ｉ Ｏ ， ｔ —２ ～１＝ ０ 得 即 ２ ｔ ，
角目 ｔｎ ： ４ ． ａ
・ ． ．
ｓ （ ） ｉ２ ｎ 一 ＝
ｎ ，
，
ｔ ｌ ／， ＝ 士、２ 而这两个值均 不在 １＜ｔ 、２ ／ ≤ ， 中， ／ 故 不 存 在 ０＜ ｚ ＜ ７， 得 ｓｎＸ ＣＳ ， ａ ， ｌ 使 ｉ ， Ｏ ｔｎ ｚ
Ｃ Ｓ ， ａ ， ｏ 为 等 差数 列 ． Ｏ Ｘ ｔｎ ｃｔ
且∈，． 存 （ ） （ ） 以在∈，， ０ 所 ０ 吾
使得 ｓ Ｘ ＣＳ ｔｎ ｃｔ ｉ ， Ｏ ， ａ ，ｏ 为等差数列． ｎ
思 路 三 ： 假 没 存 在 符 合 题 意 的 角 使 得 ｓ Ｘ ＣＳ ，ａ Ｘ ｃｔ 为等差数列， ｉ ，Ｏ Ｘ ｔｎ ，ｏ Ｘ ｎ 则有 ｓ ｉ ＋ ｎ
＿
，
Ｃｏ Ｓ
显 然 ｓ — ＣＳ ≠ ０ ｉ ｎ Ｏ
Ｓｌ ｎ
ＣＳ Ｏ ｚ＝３ Ｏ 一２ ｉ Ｘ 两式相乘得 （ＣＳ ＣＳ ｎ ， ｓ ２ Ｏ Ｘ—
（则 由 意 ＜ ＜薹 只 Ｘ ， 否 ， 题 ０ ，有 ＝ 而
此 时容 易验证 ｓ ， Ｏ ， ａ Ｘ ｃｔ ｉ ＣＳ ｔｎ ， ｏ Ｘ不为等 ｎ 差 数列） 等式两边 同除 以ｓ —ＣＳ 得 １＝ ， ｉ ｎ ＯＸ
，
ｔｎ 一７ ａ ＋５＝ ０ 解 得 ｔ ｎｚ＝ ａ ｔｎ ， ａ
７土 、２ ／９
因此 思路一、思路二 的计算结果相 同， 但却是错
误的， 它并 不 满足 原 问题 的一 个必 要条 件 ＣＳ — Ｏ ｓｎＸ＝ ｃ ｔ ｉ ｏ Ｘ～ｔｎ ．那 么 问题 出 在 哪里 呢？原 ａＸ
ＣＳ ，ａ ，ｏ 为 等 差数 列 ， Ｏ Ｘ ｔｎＸ ｃｔ 则应 有
ｆ Ｓ ＝ｓ ＋ ａｘ Ｃ ｉｘ ｔ ２ＯＸ ｎ ｎ，
【 ｔｎ ２ａ ＝ＣＳ ＋ｃｔ ， ＯＸ ｏｚ
于是 有 ｔｎＸ＝ ２ＣＳ ａ ｚ—ｓ ，ｏ Ｘ＝ ２ ａ — Ｏ ｉ ｃｔ ｎＸ ｔｎ
ＣＯＳ Ｘ
ｔｎ ｃ ｔ 为 等 羞 数 歹 （ 筒 法 见 爹 考 又 瞅 【Ｊ． ａ ， ｏ Ｕ此 竿 １Ｊ
鼠 路 一 ：同 恩 潞 一 可 得 ４ｃ ｓ －７ｓｎ Ｃ Ｓ ０ ２ｘ ｉ Ｏ
： 一
以上三种解法 的基本思路都是： 首先假设存
（）以在∈，＇ ｓ，ｘ 。 ，存 （） ｉｃ， ， 所 。 ｛ ｎｏ 吾 ７￣ ｘｓ
２ １ 年第 ３ ０１ 期
数 学教 学
。ｌ ３
圆锥 曲线 中的 一个 定值 性 质
２１ １ 华东师范大学附属枫泾艺术中学 干志华 ００ ５
文 ［ 介绍了圆锥曲线的一 个统一定值性质， １ ］
其椭 圆情 形 如 下： 性 质 ｌ 设 Ｂ是 椭 圆 ２＋ ｘ
性 质３ 给定椭 圆Ｅ ：ｒｊ ＋ ０ ＝１ ｎ＞ｂ＞ （ ０ ， ｍ，）＂ ≠ ０ｍ ≠ 士０ 是 轴上的一定 ） Ｆ（ ０ （ ） 点 点 Ｆ任 意 引一 条直 线交 于两 点 、Ｊ， 过 Ｅ ； 是 Ｅ上 异 于 、Ｂ 的任 一 点． 线 ＰＡ、ＰＢ分 别 直
但 ∈，吨…一ｚｏ 当 ［ ）ｃ ｓ≤ｔ ｉ ， ｎ …
ＣＳ ＞ ０ Ｏ Ｘ ，故 Ｃ Ｓ — ｓ ： ｔｎ — Ｃ Ｓ Ｏ ｉ ｎ ａ Ｏ Ｘ不
故 应
ｎ ＝
铖
叭 …
＝
因在于 由问题列出的两个等式变化到 （） 式是一 个不等价的变换过程， 后者的 白变量取值范 围变 大 了， 句话说， 木式 只是原问题成立的必要不 换 （）
１ 即 ｓｎ０ 一 ７ｓｎＸＣ Ｓ ＋ ５Ｃ Ｓ ｉ ｉ Ｏ Ｏ ２
＝
在符合题意的角， 然后在基本概念 （ 等差数列、 三 角 函数 等） 背景 下 经 过 一 系 列 化 简 得 出结 的
论． 笔者认为这样 的解题 思路都没有问题． 由于
０ 则 ，
２
ｓ ＋ａａ ＝ｒ ｉ ＿ｃ 等 ａ ｎ １ｔ ｎ ｃ ｒ