【典型案例6】如何决定是否购买一批苹果？
从统计学角度来讲，挑出的几个苹果 口感的均值和差异值就是样本平均数和样 本方差，这批苹果口感的均值和差异值是 总体平均数和总体方差。 这种用商品质量数据的样本平均数、 样本方差作为总体平均数、总体方差的作 法，是人们购买商品时常用的有效估计方 法，其理论依据是本章将要学习的内容。
经济管理类“十三五”规划教材
统计学
-从典型案例到问题和思想
第五章 抽样分布
§ 典型案例【6】 § 第一节 抽样分布基本概念 §批苹果？
俗话说“一日一苹果，医生远离我。” 假如现在面对一批苹果，人们如何了解它 们口感的均值和差异值，以便作出是否购 买这批苹果的决策呢？ 人们常用作法：从这批苹果中随机挑 出几个品尝后，得出这几个苹果口感的均 值和差异值，以此作为这批苹果口感的均 值和差异值，从而作出是否购买这批苹果 的决策。
2 2
总体方差
E () X [ E ( X ) ]1 1 0 0 9 0 0 2 0 0
2 2 2
由于n =2，从而验证了（5.1）的正确性。
四、抽样分布的数字特征
X 由式（ 5.1 ）可知： 的平均数为 ， 2 方差为 n 。随着 n 的增大，其方差越来越 小，从而 X 的取值越来越向着 靠拢，故用 X 去估计 理论依据成立。
第一节
抽样分布基本概念
一、样本容量和样本个数 二、参数和统计量
三、抽样分布
四、抽样分布的数字特征
一、样本容量和样本个数
总体是研究的所有个体构成的集合，其 中的个体的数目常用 N 表示。 从中随机抽取部分个体构成一个样本， 构成样本的个体的数目，常用 n 表示，称 为样本容量，也称样本量。 例如，典型案例6中，一批苹果有400个， N 4 0 0 从中抽取8个进行品尝，那么 ， 而 n 8 。显然，从中可以得到很多个样本。
三、抽样分布
抽样分布理论在推断统计中具有重要 的作用，它是后续参数估计和假设检验的 理论依据和基础。
四、抽样分布的数字特征
（一）样本均值的数字特征
设总体的平均数为 ，方差为 ，采 取重复抽样的方式，从中抽取独立同分布 X 1 ，…， X n 。根据数学期望和方差 的样本： 的性质，可推出： 2 2 EX ( ) X （5.1） X
5∕25
4∕25
3∕25
2∕25
1∕25
三、抽样分布
从而，样本均值 X 的概率分布如表5-2所示。 表5-2
X
n =2时样本均值 X 的抽样分布
15
2 25
10 10
1 25
20
3 25
25
4 25
30
5 25
35
4 25
40
3 25
45
2 25
50
1 25
P
三、抽样分布
在例5-1中，若样本容量n=4，则样本 n 4 5 6 2 5 共有 N 个,并且例5-1中的总体 是一个非常小的总体，现实世界中，我们 面对的总体往往很大，进而样本数目将很 可观，不可能将所有的样本都抽取出来。 因此抽样分布实质上是一种理论分布。 它可能是精确的某已知分布，也可能是以 某已知分布为极限的极限分布。
三、抽样分布
【例5-1】设有一个总体，含有5个个 体：10、20、30、40、50，即 N 5 。采 取重复抽样的方式从中抽取样本容量为2 的样本，即n 2 。 试写出样本均值 X 的抽样分布。
n =2，从总体中采取重 解：由于 N =5， 复抽样的方式抽取样本，则样本共有N n =52 =25个。计算出这25个样本的均值 X ，其结 果如表5-1所示。
2
n
四、抽样分布的数字特征
在例5-1中，样本均值的平均数
1 2 17 5 0 1 0 1 5 5 0 3 0 X 2 5 2 5 2 52 5
总体均值 1 ( 1 02 03 04 05 0 ) 3 0
5
样本均值的方差
2 X
E () X [ E ( X ) ]1 0 0 0 9 0 0 1 0 0
10,50
20,10 20,20 20,30 20,40 20,50 30,10 30,20 30,30 30,40 30,50 40,10 40,20 40,30 40,40 40,50 50,10 50,20 50,30 50,40 50,50
30
15 20 25 30 35 20 25 30 35 40 25 30 35 40 45 30 35 40 45 50
样本序号
1 2
样本个体
10,10 10,20 10,30 10,40
样本均值
10 15 20 25
样本均值的概率
1∕25 2∕25 3∕25 4∕25
表5-1 n=2 时样 本均 值的 抽样 及其 取值 情况
3 4
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
二、参数和统计量
抽样的目的就是要根据样本统计量去 估计或推断总体参数。 比如，常用样本均值 X 去推断总体均 值 、用样本比例 p 去推断总体比例 、 用样本方差 S 2 去推断总体方差 2 。
以上做法的理论依据就是——样本统
计量的抽样分布。
三、抽样分布
统计量是随机变量。抽样分布就是统
计量的概率分布。 如样本均值的概率分布、样本比例的 概率分布、样本方差的概率分布等都称为 抽样分布。 以下将以样本均值为例说明统计量的 抽样分布。
一、样本容量和样本个数
从一个含有N个个体的总体中，随机 抽取样本容量为n的样本，可得到很多个 样本，此即样本个数。 典型案例6中，将400个苹果编号，则 随机抽取的样本可能是由编号为1—8的这 8个苹果构成，也可能是由编号为101— 108的8个苹果构成等等。
二、参数和统计量
参数是用来描述总体数量特征的，如总 2 体均值 、总体比例 、总体方差 等； 统计量是用来描述样本数量特征的， 是由样本构造的函数，如样本均值 X 、样 本比例 p 、样本方差 S 2 等。 由于总体是唯一的、固定不变的，故 参数往往是一个未知的常数；而样本不唯 一，且一旦抽取出来，就成为已知，故统 计量是随机变量，其取值随着样本的变化 而改变。