7-5 非线性控制系统的相平面分析法 相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。 一、线性控制系统的相平面分析 1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求系统在阶跃函数)(1)(0tRtr　作用下，在ee平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得 KeccT 因为cre，代入上式得 rrTKeeeT （7-31） 对于0),(1)(0ttRtr时，0)()(trtr 因此上式可写成 0KeeeT （7-32） 方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(Re和0)0(e。ee平面上的相轨迹起始于)0,(0R点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。根据ee平面上的相轨迹就可方便的求得cc平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P及系统在稳态时的误差为零。因为ee平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc平面上相轨迹最终到达0

Rc

的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R。 2、斜坡响应 对于斜坡输入tVtr0)(；当0t时，)(tr的导数0)(Vtr及0)(tr。因此，方程（7-31）可以写成

0VKeeeT 或 0)(0KVeKeeT

令veKVe0，代入上式，则有

0VKeeeT



（7-33）

在vvee平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在ee平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。 应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在vvee平面上的奇点的位置是坐标原点，而在ee平面上奇点坐标为)0,(0KV点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。 所以误差信号的初始值,0)0(e，0)0(Ve。如果式（7-33）的特征根是处于左半平面的共轭复数根时，则在ee平面上的相轨迹为如图7-40所示。

由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移KV0之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点)0,(0KV。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为KV0。

二、非线性控制系统的相平面分析 当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。 1、具有非线性增益的控制系统 设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中NG表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号e的数值大于1e或小于1e时，放大器的增益k分别等于1或小于1，即

mkee 11eeee （7-34） 可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。 因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下： 假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量c与m之间的微分方程为 KmccT 由于cre，代入上式得 rrTKeeT （7-35） 设系统在单位阶跃输入)(1)(ttr作用下，在ee平面上作相应的相轨迹。 对于单位阶跃输入，当0t时，0rr，所以式（7-35）成为 0KmeeT （7-36） 上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程： 0KeeeT 1ee （7-36a） 0KkmeeT 1ee (7-36b)

在下面的分析中，假设方程（7-36a）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。 根据方程（7-36a）和(7-36b）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：1T，0625.0k，4K和2.01e。

由图7-43可知，相平面被分割成三个区域：在直线1ee和1ee限定的区域内对应着方程(7-36b）,而在这个区域以外相轨迹由方程(7-36a)确定。相轨迹起始于A点，该点由初始条件,0)0(e，0)0(e确定。从A点出发的相轨迹，首先沿7-42(a)所示相轨迹运动，并“企图”收敛到稳定焦点（虚奇点，坐标原点）。然而，当相点（描述点）运动到B点，即到达本区域的边界线1ee线上时，若继续运动将越出边界而进入新的区域。因此，相轨迹将在B点发生转换，B点是上一区域的终点，同时也是下一区域的起点。从B点开始直至再发生下一次转换为止，相点将沿图7-42(b)所示相迹运动而企图收敛到稳定节点），（00。但是在C点，系统又一次发生转换，相轨迹趋向于收敛虚奇点（稳定焦点）。同样，当相点到达D点时又将发生转换……如此反复继续下去，直至最后相轨迹进入1e区域，不再越出并最终收敛到稳定节点，即实奇点(0,0)为止。可见，非线性系统的整个相轨迹为ABCDEFO，如图7-43的实线所示。显然，系统在阶跃输入下稳态误差为零。图7-43中用虚线描绘的相轨迹为图7-44所示欠阻尼二阶系统在单位阶跃作用下的相轨迹图。比较这两条相轨迹，可见前者所对应的阶跃响应特性比后者要好。首先收敛速度快，即系统速度性提高了，其次，超调量小。对于较小的阶跃输入，响应甚至是无超调的。对于中等大小的阶跃输入，系统的阶跃响应具有一次超调。对于大的阶跃输入，虽然在系统的响应曲线中可能出现超调和反向超调，但其超调量肯定比图7-44所示的线性系统要小。图7-41所示系统在典型阶跃输入时的误差响应曲线如图7-45。 2、继电系统 在图7-41所示非线性随动系统中，将放大器换成继电器，并假定继电器具有理想的继电特性，系统结构图如图7-46所示。理想继电器特性的数学表达式为

11m 00ee （7-37） 假设系统初始状态为静止平衡状态。继电系统运动方程为 rrTKmeeT

对于阶跃输入)(1)(0tRtr，当0t时，有0rr，所以上式为

0KmeeT （7-38） 将式(7-37)代入上式得方程组

00KeeTKeeT 00ee )387()387(ba 显然，两个方程均为线性微分方程。因为继电特性是由两条直线段组成，所以两条直线段内继电系统的特性仍为线性的，只是在继电器切换时才表现出非线性特性。 将de

edee



代入（7-38）式，则有

0KmedeedeT

或 edeKmeTde 对上式两边进行积分得相轨迹方程

KmeKmeTKmeTeTee

000ln



由假设条件：00Re，00e代入上式可得



1ln0KmeTKmeTRe



 （7-39）

代入m值则有

1ln1ln00KeTKeReKeTKeRe 00ee )397()397(ba 根据上两式可作出继电系统的相轨迹如图7-47所示。由图可见，相轨迹起始于)0,(0R点，在0e的区域内按方程（7-39a）变化，到达e轴A点时，继电器切换，相轨迹方程按方程(7-39b)变化。这样依次进行，最后趋于坐标原点（0，0），得系统完整的相轨迹如图7-47。另外由图可见，相轨迹转换均在纵轴上，这种直线称为开关线，它表示继电器工作状态的转换。

3、速度反馈对继电系统阶跃响应的影响 设系统结构图如图7-48所示，图中T。这时理想继电特性的数学表达式为