bx cx 0 x
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:
x
0
x
23
⑤ 1< < 0。系统特征根为一对具有正实部的共 轭复数根。系统自由运动呈性发散振荡形式。系统相 轨迹为离心螺旋线，最终发散至无穷，系统相平面图:
3）c > 0。并分以下几种情况加以讨论：
① 0 < < 1。系统特征根为一对具有负实部的共 轭复数根。由时域分析结果知，系统的零输入响应为 衰减振荡形式。相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点 （参阅例7-6），系统相平面图 :
x
0
x
20
② >1。系统特征根为两个互异负实根，系统的 零输入响应为单调形式，存在两条特殊的等倾线，其 斜率分别为 s1 n n 2 1
x
0
x
24
⑥ < 1。系统特征根为两个互异正实根。系统 自由运动呈非振荡发散形式，系统相平面图:
x= s1 x x
x= s2 x
0
x
25
8
利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是： (1) 先求系统的等倾线方程；
(2) 根据等倾线方程在相平面上画出向场。
(3) 利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条 件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等 倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾 线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点， 就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即 可绘出整个相轨迹曲线。
以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系 统常微分方程方程的解既可用x与t的关系来表示，也可 用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动 方程，则x1(t)代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。
3
用x1、x2描述二阶系统常微 分方程方程的解，也就是用质 点的状态来表示该质点的运动。 在物理学中，状态又称为相。 把由x1—x2所组成的平面 坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一 个点。
1
※7．3 相平面法
相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先提 出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。相 平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统
的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的
清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分
为一阶或二阶的情况。
2
7.3.1 相平面法的基本概念
16
bx cx a ，可得等倾线方程为 令 x c x x kx ab
其中k为等倾线的斜率。当b2 4c > 0，且c 0时，可 得满足k = a的两条特殊的等倾线，其斜率为
k1, 2 a1, 2 s1, 2 b b 2 4c 2
该式表明，特殊的等倾线的斜率等于该等倾线上相轨 迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾 线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该 等倾线。
12
3.实验法
对一个实际的系统，如果把x和x直接测量出来， 并分别送入一个示波器的水平和垂直信号的输入端， 便可在示波器上直接显示出系统的相轨迹曲线，还可 以通过X—Y记录仪记录下来。用实验的方法，不仅可 以求得一条相轨迹，并且也可以多次地改变初始条件 而获得一系列的相轨迹，从而得到完整的相平面图。 这对于非线性系统的分析和研究是极为方便的。
或
等倾线是过相平面原点的一些直线。当 = 0.5、n = 1 时的等倾线分布图 :
10
a= 1
x
1.2 B 1.4 2 3
2 n x x 2 n = 1/(a +1)
A
C
6
a= 1，k = a= 2，k = 1 a= 3，k = 1/2
x
2
1 0.8 0.4 0
13
7．3．3 线性系统的相平面图
线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性 一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折 线表示），常可以分成多个区间进行研究，而在各个 区间内，非线性系统运动特性可用线性微分方程描述； 此外，对于非线性微分方程，为研究各平衡状态附近 的运动特性，可在平衡点附近作增量线性化处理，即 对非线性微分方程两端的各非线性函数作泰勒展开， 并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微分方程。 因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是 十分必要的。下面研究线性一阶、二阶系统自由运动 的相轨迹，所得结论可作为非线性一阶、二阶系统相 平面分析的基础。
9
[例7-6] 二阶线性系统的微分方程式为 2 2 n x n x 0 x 试用等倾线法绘制其相轨迹。 解：由微分方程式可得
2 f ( x , x ) 2 n x n x x
故等倾线方程为
2 2 n x n x x 2 n x x 2 n
[例7-5] 二阶线性系统当 = 0时的微分方程式为
2 n x 0 x
绘制相平面图。 解：
2 n x dx dx x
A
2 2 2 x0 / n x0
对上式积分，便得相轨迹方程
x
x2
x2
2 n
A2
x
0
x 0
t
6
2. 图解法 目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和 法。 下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线 近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意 一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这 点的相轨迹切线来近似。 设系统的微分方程式为
x = s2 x x = s1 x 0 x x
s 2 n n 2 1
当初始点落在 x = s1x或 x = s2x直线上时，相轨迹沿着 该直线趋于原点； 除此之外，相轨迹最终沿着 x= s1x 的方向收敛至原点。
21
③ = 1。系统特征根为两个相等的负实根。与 >1相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条， 不同初始条件的相轨迹归结将沿着这条特殊的等倾线 趋于原点，系统相平面图:
dx f ( x, x) dx x
式中dx/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为 常数，则上式可改写成
f ( x, x ) x
------等倾线方程
7
f ( x, x ) x
对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的 斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的点连成一线， 则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，则可在 相平面上画出相应的等倾线。
17
1）c < 0。系统特征根s1，s2为两个符号相反的互 异实根，s1 > 0，s2 < 0，系统相平面图：
x
0
x
由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也 是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线， 还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。因 此，c < 0时，线性二阶系统的运动是不稳定的。
18
2）c = 0。系统特征根s1 = 0，s2 = b，相轨迹方程为
dx b dx
运用积分法求得相轨迹方程 x x0 b( x x0 )
x
x
0
x
0
x
相轨迹为过初始点，斜率为b的直线。当b > 0时， 相轨迹收敛并最终停止在轴上；当b < 0时，相轨迹发 19 散至无穷。
设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述：
d 2x dx dx dx f ( x, x) x a1 ( x, ) a0 ( x, ) x 0 2 dt dt dt dt dx1 令x = x1， dx/dt = x2 dt x 2 dx 2 f ( x1 , x 2 ) dx2 f ( x1 , x 2 ) dt dx1 x2
14
1. 线性一阶系统 描述线性一阶系统自由运动的微分方程为 相轨迹方程为
Tx x 0 1 x x T
相轨迹是位于过原点，斜率为1/T的直线。当T > 0时， 相轨迹沿该直线收敛于原点；当T < 0时，相轨迹沿该 直线发散至无穷。