第一部分 非线性系统分析
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理论分析是探讨系统特征最经济的方法
仿真必须有理论指导.盲目的仿真很可能是误导
非线性控制器的设计以分析为基础,当控制器的 工作不能满足要求时给出改进的导向 没有适用于所有非线性控制系统分析的通用技术
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1.相平面分析 分析二阶非线性系统的图形方法 在相平面上给出一族系统的运动轨线（不足之处？） 2. Lyapunov方法 直接方法：构造一个类似能量的lyapunov函数，考查其是 否单调衰减（可用于时变的、时不变的、有穷 维的、无穷维的等一切系统） 间接方法：在平衡点附近进行线性化近似 （不足之处？） 3. 描述函数 用线性“等价系统”去逼近非线性系统的非线性成分， 然后用频域法去研究近似系统 可用来分析高阶系统 （不足之处？）
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本章内容
相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析
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2.1 基本概念
相图 相平面法研究如下形式的二阶自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )

x1 , x2是系统状态 , f1 , f 2为系统状态的非线性函 数




变量替换，化为 状态空间下表示 为
以x1 x2 为坐标的相平面
相平面法也可用于一阶系统分析:
x 4 x x 3

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奇异点（平衡点）
结合

x 0

x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )
得到
f1 ( x1 , x2 ) 0 f 2 ( x1 , x2 ) 0
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2
将图2.5b的左半平面和2.5c的右半平面（？）合并， 得闭环控制系统的完整相图
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2. 等斜率法
系统
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )

dx2 f 2 ( x1 , x2 ) 的斜率由 确定 dx1 f1 ( x1 , x2 ) dx2 f 2 ( x1 , x2 ) dx1 f1 ( x1 , x2 )
因此，等斜率轨线定义为
f 2 ( x1 , x2 ) f1 ( x1 , x2 )
该曲线上 点具有相 同斜率
等斜率法的两个步骤: 1. 得到轨线的切线场 ； 2. 根据切线场的方向得到平面相轨线
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以质量-弹簧系统为例，用等dx2 x1 轨线的斜率为 dx1 x2
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第二章 相平面分析
19世纪末由法国数学家Henri Poincare等确立 思想：在二维的相平面上，画出对应于不同初值 的运动轨线，然后研究轨线的定性特性。 优点： ① 图解法，不必求解非线性方程 ② 不局限于小的和光滑的非线性，对强的、“硬的” 非线性同样有效 ③ 一些实际控制系统可以用二阶系统有效逼近

消去时间t，得到轨线方程
x x
2
2
x
2
0
结论：在相图中，不同初值对应的系统特性展露无遗。 系统轨线既不趋于0，也不趋于无穷，因此处于临界稳 定状态。
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单变量二阶系统： x f ( x, x) 0 x1 x
x2 x
x1 x2 x 2 f ( x1 , x2 )
例：质量-弹簧系统
f ( x1 , x 2 ) x1 而 f ( x1 , x2 ) x1 , - f ( x1 , x2 ) x1

x x 0
因此相图关于 x1 , x2 都对称
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本章内容
相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析
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2.2 构造相图
现在相图一般由计算机程序生成。但是，快速勾 画相图以及快速检验计算机产生相图的概貌，仍 然十分有用。 构造相轨线的方法有：解析法、等斜线法、三角 法、Lienard方法等
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1. 解析方法
方法1
：从
x1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 )


中解出时间函数 x1 (t )和x2 (t )
然后从 x1 (t )和x2 (t ) 中消去t。参考质量-弹簧系统
方法2
：直接消去时间变量t，得到
然后从中解出 x1 (t )和x2 (t ) 的关系
例如，对质量-弹簧系统 x x 0
d x x x 0 dx


可写成
2 2
积分后同样得到 x x
x
2
0
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多数非线性系统难以用解析方法求解。但是对分段线性的 非线性函数，这种方法很有效。
x1 ? x2 ?
线性系统通常只有一个奇异点， 非线性系统有多个孤立的奇异点。
例：系统

x 0 .6 x 3 x x 2 0

结论：该系统两个奇异点；奇异 点处相轨线相交
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相图的对称性(斜率大小相同,符号相反)
x 2 f ( x1 , x2 )

x1 x2
例:卫星控制系统
控制系统的目的是通 过调节推进器产生的 力矩u来保持卫星天线 的角度为0
卫星的数学模型是 u, 先考虑正力矩U的情况， U 积分得， 当力矩为-U时，
2U c1
2

U , 0 u (t ) U , 0

2U c1


dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x
如果系统方程满足条件 ： f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) 关于x1轴对称 f ( x1 , x2 ) - f (- x1 , x2 ) 关于x2轴对称 f ( x1 , x2 ) - f (- x1 , x2 ) 关于原点对称
第一步，等斜率方程为 x1 x2 0 令\alpha取不同的值，可以得到不同的等斜率线 第二步，将切向量场描述的短线段连接起来，得到轨线。
相平面就是以
x1 , x2 为坐标的平面
初值x(0) x0 方程的解x(t ) 当t 时，x(t ) 可看作相平面的一条几何曲线，称为相平面轨线
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例：质量-弹簧系统的相图
描述质量-弹簧系统的动 态方程：
x x 0
解为
x(t ) x0 cost x(t ) x0 sin t