②对数变换。幂函数
y axb
两边取对数可以化为 lny=lna+blnx，指数函数 y abx 两边取对数可以化为 lny=lna+xlnb，
这样非线性关系可以转换为线性关系，从而可以用线性最小二乘拟合参数。
2020/7/26
4
三、基于一元线性回归的参数估计
数学形式
③混合变换。有些非线性函数无法用简单的变换使之线性化，需要用多种变换来实现 线性化。对于负指数函数
将上述过程转化为如下的M文件。
S=[20 50
80
100 150
mu=[1.18 2.17 2.82
3.03 3.49 3.65
x=1./S;y=1./mu;
X=[ones(size(x,1),1),x];
[ab,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,0.05)
mumax=1/ab(1);ks=ab(2)*mumax
或者根据经验值获得。 上述参数在具体的时间、空间条件下，是否真正的适合某一模型，或
者说其适合的程度有多高要靠参数估计的方法评价，并且以这些从各 种途径获得的模型参数作为初值，利用参数估计的方法，获得最适合 的模型参数是参数估计的最主要任务。 参数估计的方法多是一些数学上的优化方法，如最小二乘优化法、非 线性优化规划法、梯度最优化算法、线性回归、非线性回归、经验公 式等。
y=aeb/x 两边取对数得到 lny=lna+b/x，继续令 lny=v，1/x=u，c=lna 则可得到 v=c+bu，是线性关系， 估计出参数 c 和 b 后，反推计算得到 a，b。
对于
y 1 a bex
两边取倒数得到 1 a bex ，令 1/y=v，e-x=u，则有 v=a+bu，从而可估计参数 a，b。 y
【例】已知
20℃时观测数据如表，用线性回归估计
Monod
方程 maxS KS S
中的参数 max
和 KS。
表 20℃观测到的微生物比增长速率和底物浓度数据
S，mg/L 20
50
80 100 150 200 250 300 350
μ，d-1 1.18 2.17 2.82 3.03 3.49 3.65 3.97 4.11 4.22
1 KS (1)ห้องสมุดไป่ตู้1
max S max 令 1/ =y，1/S=x，Ks/ max=b，1/ max=a，则上述方程变为 y=a+bx，这是一个线性方程， 用一元线性回归估计出参数 a 和 b 后，可计算得到 Ks 和 max。
2020/7/26
7
三、基于一元线性回归的参数估计
简单程序
数学形式
如果因变量 y 和自变量 x 之间的数量关系就是直线型的，即 y=a+bx
则可以直接回归求得参数 a 和 b。如果是一些简单的曲线型，可以通过一定的数学变换就 可以变为线性的，从而可以用回归方法估计其参数。
①倒数变换。形如 1 ab yx
的函数多进行倒数变换，令 1/y=v，1/x=u，则原函数变为 v=a+bu，这是一个线性函数的形 式，可以应用一元线性回归进行参数估计。
第6讲：环境数学模型参数 估计方法（一）
1、一元、多元线性回归参数估计
2、多项式回归参数估计 (自学)
3、非线性回归参数估计方法
4、非线性最小二乘优化参数估计(自学)
2020/7/26
1
一、参数估计重要性
环境数学模型要实现求解，确定其参数是重要的一步。 模型中的参数有一些是通过试验手段获得、或者根据文献上资料获得、
对于多项式
y=a+b1x+b2x2+…+bmxm
分别令 x1=x1，x2=x2，…，xm=xm，则可以得到 y a b1x1 b2x2 bm xm ，这是一个多项
式回归问题，利用下面讲述的多元线性回归可以估计参数 a，b1，b2，…，bm。
2020/7/26
5
三、基于一元线性回归的参数估计
应用举例
反过来，如果已经知道因变量和自变量之间数学模型的基本结构，如 直线型、幂指数型、多项式型，只是不知道模型中的确切参数，则根 据观测值，利用回归分析的方法将模型参数确定出来的过程就是参数 估计的过程。
利用回归分析技术进行参数估计实际上要比完全意义上的回归分析简 单一些。
2020/7/26
3
三、基于一元线性回归的参数估计
y=b0+b1x1+b2x2+…bmxm+e
那么估计参数 b0、b1、b2、…、bm 的过程即为多元线性回归，e 为随机误差，其数学期望为 零，并服从正态分布（N(0,σ2)）。 MATLAB 中，进行多元线性回归方法仍用 regress()函数进行
2020/7/26
2020/7/26
6
三、基于一元线性回归的参数估计
求解思路
解：Monod 方程是环境工程废水处理中用以计算废水中一定底物（有机营养物质）浓
度时微生物比增长速率μ的公式， max 为微生物最大增长速率，Ks 为半饱和常数，S 为底
物浓度，这和发酵工程中用以计算酶反应速度的米氏方程的形式是一样的。 将上述方程分子分母倒置得：
运行结果
200 250 300 3.97 4.11 4.22]';
350]';
ab = [0.200 ；12.916] ；bint= （略去）；r =（略去）；rint =（略去）； stats =[0.9995 15412.8412 0.000000000001] %可见相关系数平方接近1.0，p值 接近0
2020/7/26
2
二、什么是基于回归分析的参数估计？
回归分析是一种数理统计的方法，用以估计变量之间的相关关系，这 种相关关系可能是线性的，也可能是非线性的。
回归分析过程是根据因变量和自变量的大量观测数据，发现其大致规 律，然后用一定的线性或非线性模型去拟合这些观测数据，回归分析 得出因变量和自变量之间的确切数量相依关系式。
mumax = 4.97
ks =64.27
2020/7/26
8
四、基于多元线性回归的参数估计
问题描述
在研究的环境问题中，对某一变量产生影响的变量往往不止一个。例如对河流输沙量 影响的因子有：年平均降雨量、土壤质地、水保持措施、地表径流量等。受影响的变量称 为因变量 y，影响因素称为自变量 x1、x2、x3 等等。如果因变量 y 和多个自变量 x1、x2、x3 等之间为线性关系，即有：