本科学生毕业论文

浅谈不定积分的解题方法

摘要

本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.

关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法

ABSTRACT

There are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration,

exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these

ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.

Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral

method and the division of integral method

目录

1 引论 .............................................................. 1

2 不定积分 .......................................................... 1

2.1 不定积分定义 ................................................... 1

2.2 经典例题 ....................................................... 1

3 直接积分法 ........................................................ 2

4 换元积分法 ........................................................ 2

4.1 第一换元积分法 ................................................. 3

4.1.1 凑微分法 .................................................. 3

4.1.2常用凑微分法公式 ........................................... 4

4.2 第二换元积分法 ................................................. 4

4.2.1根式代换法 ................................................. 5

4.2.2 三角代换 .................................................. 5

4.2.3 倒代换 .................................................... 6

5 分部积分法 ........................................................ 7

5.1分部积分法 ...................................................... 7

5.2 积分的关键 ..................................................... 7

6 有理函数积分法 .................................................... 7

6.1有理函数积分法 .................................................. 7

6.2分式有理函数 .................................................... 8

7 结论 ............................................................. 10

参考文献 ......................................................... 11

1 引论

微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗[1]曾指出≪微积分≫和≪数学分析≫是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样，它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法，第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.

2 不定积分

2.1不定积分的定义

不定积分的定义[2]若在某以区间上'Fxfx则在这个区间上函数F(x)叫函数fx的原函数. 我们把函数fx的原函数的一般表达式称为fx的不定积分.记为fxdx，亦即

fxdxFxC,

其中Fx是fx的一个原函数，C为任意常熟，又称fx是被积函数，x为积分变量，C为积分常数，记号:("∫")为积分号.

例1 求多项式的积分2321xxdx 解 利用积分的运算法则,有

原式23232xdxxdxdxxxxC.

3 直接积分法

直接积分法[3]就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分.

直接积分法的关键[4]是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公式是不难记住的 .

例2 求2cotxdx

分析：基本关系中没有关于2cotx的积分，但是由于他相关的2cscx积分,于是，把2cotx用2cscx来表示，然后代入公式：

解 22cotcsc1cotxdxxdxxxC.

例3 求421xdxx

解 原式4232211111arctan113xdxxdxdxxxxCxx.

例4 求2cosxxdx

解 21cos21cos21sin2cos22224xxxxxdxdxdxdxxC.

例5 求cos2cossinxdxxx

解 被积函数有不同三角函数sin,cosxx和cos2x可利用倍角公式为22cos2cossincossinsincoscossincossinxxxdxxxdxxxCxxxx .

4 换元积分法 换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的类型或容易积分的形式，换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法.

4.1 第一换元积分法

第一换积分法[5]（又称凑微分法)在求积分gxdx，如果它可[]'()fhxhxdx的形式时，可作变量代换u=h(x)则()duhxdx，此时[()]'()()fhxhxdxfudu而fudu又可直接积分得()FuC，最后再将u换回()hx即可运算形式下:()[()]'()gxdxfhxhx凑微分 [()](())fhxdhx变量代换()uhx()FuC回代 [()]FhxdhxC第一换元积分法的关键[4]是将被积表达()gxdx化[()]'()fhxhxdx凑微分

[()]fhxdhx 再选择变量代换()uhx.

第一换元积分法的关键[4]是:将被积表达式凑成两部分，一部分为复合函数，其中外函数为基本公式的一个函数类，另一部分为内数的微分，这里要注意系数的调整 .

例6 求3145dxx

分析 123345454510axdxxC其中外函数为幂函数，内函数为45x.

解 原式2133134545(45)510xdxxC.

凑微分法[6]可概述为：

凑微分——()uxdvx；

可积出，则积出；

积不出，则分部——()uxdvx之不定积分等于()ux与()vx之积减去()ux和()vx交换位置的不定积分.

注意：

1 可积出 （a）x幂函数与指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数之积的不定积分只须取x的幂函数作即可积出.

（b） x幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作()ux即可积出.

(c) 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数()ux即可积出.

2 积不出

多项式与指数函数,对数函数,正(余)弦函数,反三角函数的乘积的不定积分.

例7 求2351cos4xxxdx

解 根据不定积分的运算性质,得

222sin4351cos43cos45cos4cos4840532cos425.16xxxxdxxxdxxxdxxdxxxxxC 4.1.2 常用的凑微公式

常用的凑微公式主要有：

1dxaxba；

1lndxdxx；

xxedxde；

cossinxdxdx；

221cscsindxxdxx；

21arctan1dxdxx.

例8 211Idxxx

解 令secxt,则22sectan,1sec1tandxttdtxtt

11arccossectanIcttdtx.