习题 1998年

第一章 概论 一、什么是决策? 什么是决策分析? 决策问题的特点是什么? 决策问题有哪些要素? 二、用决策树表示下列问题: 1. 火灾保险 2. 易腐品进货问题 3. 油井钻探问题: 某公司拥有一块可能有油的土地, 该公司可以自己钻井,也可以出租给其它公司开采; 若出租土地,租约有两种形式,①无条件出租,租金45万元 ②有条件出租,租金依产量而定: 产量在20万桶或以上时,每桶提成5元; 产量不足20万桶时不收租金. 设钻井费用为75万元,有油时需另加采油设备费25万元,油价为15元/桶.(为 了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态: 无油,产油5万桶, 产油20万桶, 产油50万桶) 三、* 设油井钻探问题如下: 每次钻井费用10万元,有油时售油收入100万元,有油的概率为0.2, 无油的概率为0.8.问无油时该继续钻井否? 若该, 钻几次仍无油时停止钻井?

第二章 主观概率和先验分布(Subjective Probability & Prior Distribution) 一、为什么要引入主观概率? 试比较主、客观概率的异同. 如何设定先验分布? 二、1. 阅读 §6.3.4 2. 两人一组,一人充当决策人, 一人充当决策分析人, 就来年国民经济增长率的先验分布进行对话,并画出对话所得的图形曲线. 互换角色, 就就来年通涨率的先验分布进行对话. 三、设某个决策人认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3, 是售出1200件的可能性的1/2, 与售出1600件的可能性相同, 售出800件的可能性售出1200件的可能性的两倍, 是售出1600件的可能性的3倍; 售出1200件的可能性比售出1600件的可能性的大2倍. 求该决策人关于产品销售量的主观概率分布.

第三章 效用、损失和风险 (Utility 、Loss & Risk) 一、什么是效用? 基数效用与序数效用有何区别? 采用效用进行决策分析有何利弊? 二、某人请3个朋友吃饭, 他不知道究竟能来几人. 设各种状态的主观概率如下表所示. 设此人的效用函数u=x-2y-z2.其中x是为朋友预订的客饭有人吃的份数, y 状态i θ1 θ2 θ3 θ4

来客人数 0 1 2 3 ()

i 1/8 1/4 1/4 3/8

是来了吃不到饭的客人数, z是预订了客饭没有人吃的份数, 求他该为朋友订几份客饭? (设每人吃一份, 不得分而食之) 三、某人有资产1000用于购买股票,A种股票有70%的机会增值一倍30%的可能连本丢掉; B种股票有60%的机会增值一倍40%的可能连本丢掉. 设此人的 效用U与收益X的函数关系是U(x)=ln(x+3000).决策人用m购A种股票,1000- m购B种股票.求m. 四、某厂考虑两种生产方案产品A可以0.3的概率获利5万元, 以0.2的概率获利8万元, 以0.5的概率获利9万元; 产品B肯定可以获利8万元. 决策人甲的效用函数为线性,即U1(x)= x; 决策人乙的效用函数 U2(x)= x2/5 当 0≤x≤5 4x-10- x2/5 当5≤x≤10 1.画出两个决策人的效用曲线. 2.甲乙两个决策人分别作何选择? 3.若生产AB两种产品均需另加5万元的固定成本, 甲乙两个决策人又该作何选择? 五、画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明. 六、把一副扑克牌的四张A取出,牌面向下洗匀后排在桌面上.你可以从下列两种玩法中任选一种: ⑴ 先任意翻开一张再决定: a)付出35元,叫停; 或者 b)继续翻第二张,若第二张为红你可收入100元, 第二张为黑则付出100元; ⑵ 任意翻开一张, 若此牌为红你可收入100元,为黑则付出100元; 1. 画出此问题的决策树 2. 设某决策人的效用函数u=ln()1200x,他该选何种玩法? 七、(Peterberg Paradox)一个人付出C元即可参加如下的赌博:抛一枚硬币,若第N次开始出现正面, 则由庄家付给2N元. 在这种赌博中, 参加者的期望收益为

21NNNp = 2121NN = ∞ 但是, 很少有人愿意出较大的C. 试用效用理论对此加以证明. 第四章 贝叶斯分析 (Bayesean Analysis)

一、 1. 风险型和不确定型决策问题的区别何在? 各有哪些求解方法? 2. 什么是贝叶斯分析? 贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别? 二、用Molnor的六项条件逐一衡量下列原则: ①Minmax②Minmin③Hurwitz④Savage-Hiehans⑤Laplace 三、不确定型决策问题的损失矩阵如下表. 用上题所列五种原则分别求解.(在用Hurwitz原则求解时,讨论λ的取值对结果的影响) a1 a2 a3 a4

θ1 -4 -10 -12 -8 θ2 -18 -24 -6 -13 θ3 -6 0 -6 -10 θ4 -14 -8 -10 -4

四、某决策问题的收益矩阵如下表. 试用①最大可能值原则②Bayes原则③E-V原则④贝努里原则(U=0.1C2)分别求解 θi θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7

π(θi) 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1 a1 2 3 7 6 1 2 1.5

a2 4 8 6 9 3 4 2

a3 6 4 3 10 12 6 5

五、油井钻探问题(续第二章二之3) 1. 设各种状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动? 产油量 50万桶 20万桶 5万桶 无油

θi θ1 θ2 θ3 θ4 π(θi) 0.1 0.15 0.25 0.5

2. 若可以通过地震勘探(试验费12万元)获得该地区的地质构造类型xj

(j=1,2,3,4)的信息.设已知P(x|θ)如下表 θi \ xj x1 x2 x3 x4

θ1 7/12 1/3 1/12 0 θ2 9/16 3/16 1/8 1/8 θ3 11/24 1/6 1/4 1/8 θ4 3/16 11/48 13/48 5/16

①求后验概率; ②画决策树; ③进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则; ④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤; ⑤求完全信息期望值EVPI和采样信息期望值EVSI. 六、 1. 医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患A、B、C三种病之一, 得这三种病的概率分别是0.4、0.3、0.3. 为了取得进一步的信息,要求病人验血,结果血相偏高. 得A、B、C三种病血相偏高的可能性分别是0.8、0.6、0.2. 验血后医生判断患者得A、B、C三种病的概率各是多少? 2.(续1)若得A、B、C三种病的白血球计数的先验分布分别是在[8000, 1000] 、[7000, 9000] 、[6000, 8500]区间上的均匀分布,化验结果是8350-8450.求此时病人患三种病的可能性各是多少? 七、某公司拟改变产品的包装, 改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是 销路差θ1 销路一般θ2 销路好θ3

π(θ) 0.2 0.3 0.5 销路与收益的关系如下表 θ1 θ2 θ3

改变包装 -40 0 600 包装不变 0 0 0

为了对销路的估计更有把握, 公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系: x i θi x1 x2 x3

θ1 0.8 0.2 0 θ2 0.2 0.4 0.4 θ3 0 0.1 0.9 1. 画出该决策问题的决策树; 2. 确定与各种试销结果相应的贝叶斯行动; 3. 分析试销费用与是否试销的关系.

第五章 随机优势(Stochastic Dominance)

一、用随机优势原则求解决策问题有何利弊? 二、决策人面临两种选择:①在[-1, 1]上均匀分布;②在[-A, B]上均匀分布其中⑴A=B=2; ⑵A=0.5, B=1.5; ⑶A=2, B=3. 试用FSD和SSD判别在上述三种情况下①与②何者占优势.(设决策人的效用函数u∈U2) 三、已知收益如下表, 用优势原则筛选方案. (设决策人的效用函数u∈U2) θi π(θi) a1 a2 a3 a

4

θ1 0.1 2 -1 -1 -1 θ2 0.2 1 2 1 2 θ3 0.3 0 1 1 0 θ4 0.4 4 0 1 0

四、决策人的效用函数u∈Ud.试分析他对下表所示的决策问题应作何选择. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

a1 0 3 3 1 3 3

a2 2 1 4 2 2 2

第二篇 多准则决策分析(MCDM) 第八章 多属性效用函数（Multi-attribution utility function） 一、某企业拟在若干种产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年. 现仅考虑两种属性: 第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y. 设现金收益可以精确预计; 企业的偏好是 ①X、Y是互相偏好独立的;②x x x’x≥x’ ;③y y y’y≥y’④(100,400)~(200,300), (0,600) ~(100,200). 设有下列产品对: