- 1 - 《系统动力学》 超声珩磨摩擦型颤振 非线性振动方程的数值分析

学 院： 机械与动力工程学院 专 业： 机械工程 班 级： Y150201 姓 名： 柳伟华 学 号： S1502004

2016年6月 - 2 -

1.项目的目的及内容 功率超声珩磨是一种新型的加工技术，由于其具有低温化、脉冲性、切削力小等加工优势而受到人们的重视，因此得到了广泛的应用和发展。 颤振，是机械加工过程中，在没有周期性外力 (相对于切削过程而言 )作用下，刀具与工件之间产生的一种周期性振动，属于自激振动。在机械加工中，颤振现象的发生会导致一系列不良的后果。一方面，工件和刀具间的相对振动会使工件的表面加工精度降低，从而影响工件的性能，缩短其使用寿命。另一方面，在金属切削加工时，颤振现象的发生会使实际的瞬时切削厚度在名义切削厚度附近变化。 当颤振比较强烈时， 刀具的刀刃有时甚至会跳离工件， 致使实际的瞬时切削厚度变为零； 而有时刀具的刀刃又会过深地切入工件内，致使实际的瞬时切削厚度可以比名义上的切削厚度大上好几倍。颤振现象还会导致刀具的实际前角、 后角的大小发生周期性的变化。颤振引起的这些变化会引起一个周期性变化的动态切削力，其最大值甚至可能比没有颤振发生时的静态切削力还要大。这种由颤振引起的动态切削力会导致刀具切削部分疲劳，引起崩刃、打刀等刀具损坏情况的发生，同时会导致机床和夹具的有关部位加速磨损、松动、丧失精度。除此之外，强烈的颤振现象还会伴随产生很大的噪声，危害操作者的身心健康。因此，在机械加工中有效地避免和抑制颤振现象的发生是非常必要的。 近年来， 随着机械行业的不断发展和完善， 使得对机械加工中的颤振现象的研究变得越来越紧迫和重要。颤振，作为一种伴随加工存在的现象，有其两面性功率超声珩磨颤振是一种严重影响工件加工质量的现象，分析其产生机理，并通过合理的方式有效抑制其产生已经成为目前最主要的研究任务。对颤振进行稳定性分析，可以了解其主要影响因素及其对加工的具体影响。 本课题主要对超声珩磨中的摩擦型颤振进行动力学分析，基于现有的颤振理论，通过对珩磨过程中动态珩磨力的分析，建立超声珩磨颤振非线性动力学模型和相应的非线性振动微分方程。利用机床动力学和非线性振动理论中的方法， 对已建立的非线性振动方程进行数值分析和解析求解，分析各参数对珩磨颤振的影响，揭示超声珩磨颤振的机理和特性。

1.1项目的研究目的 （1）研究超声珩磨颤振，为抑制超声珩磨过程中颤振现象提供了理论依据，为实现精密加工及超精密加工提供理论保障。 （2）分析其产生机理，并通过合理的方式有效抑制其产生是目前最主要的研究任务。

1.2项目的研究内容 （1）建立超声珩磨摩擦型颤振的非线性动力学模型。 （2）应用 Matlab 软件对超声珩磨摩擦型颤振的非线性振动方程进行数值分析。 （3）求解超声珩磨摩擦型颤振非线性振动方程的近似解析解。

2.分析项目的研究现状 最早始于F.W.Taylor的研究。F.W.Taylor的颤振理论研究认为：形成不连续切屑的周期和刀架、工件或机床的传动机构中任一部分振动的固有周期相等， 可能是导致颤振发生 - 3 -

的主要原因之一。此后，R.N.Arnold首次提出了“摩擦型颤振”理论。R.S.Hahn提出了机床切削“再生型颤振”理论。J.Tlusty 建立了机床切削颤振的“振型耦合颤振”理论。日本的土井和加藤认为机床颤振是由于切削力水平分力的瞬时变化在时间上的滞后效应造成的。 星铁太郎还提出了混合型颤振的概念等等。 对于颤振的激振机理，许多学者曾提出过许多不同的学说：比较公认的有再生原理、振型耦合原理和摩擦原理。 总体来看， 对线性颤振理论的研究已有较长历史，非线性颤振理论的研究处于初级阶段。 线性颤振分析的研究目前还主要以二维稳定性极限图为主， 建立三维稳定性极限图是新的研究热点。相比线性颤振理论的研究，非线性颤振理论尚不够系统和深入，采用的数学方法和得出的结论性公式都过于复杂，对实际生产的指导作用尚不尽人意。

3.建立项目的数学模型及求解 常用的由摩擦引起的单自由度振动系统，质量为m的物块沿参考运动面滑动，物块与运动面之间的正压力为nF，刚度和阻尼分别为k、c。于是，系统的运动方程为：

,...),,,(....nFtxFkxcmxxx

nFF 由连续弹性体的振动理论得到工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动方程如下：

)()(),()),((2121111yvFttyuAtyuLr

)()(),()),((2222222xvFttxuAtxuLr 模态坐标的振动方程可表示为 )()()(11211..tftTtiitiT

)()()(22222..tftTtjjjjT 以上就是由非线性动态珩磨力相耦合的工件弹性子系统和挠性杆—油石工具弹性子系统组成超声珩磨摩擦型颤振系统的多自由度自激振动方程。

4.应用 Runge—Kutta 法对无量纲化后的非线性振动方程进行数值分析 Runge—Kutta 方法是一种在工程上应用广泛地高精度单步数值算法。 Runge—K utta方法不是用求导数的办法，而是用计算不同点上函数f(t,y)的值，然后对这些函数值作线性组合，构造近似公式，再将近似公式和解y(t)的Taylor展开相比较，使得前面的若干项相吻合，从而使近似公式达到一定的阶数。 在MATLAB里要利用数值求解常微分方程，必须首先将高阶方程转化为一阶常微分方程组，然后才能调用相应的求解函数。大致可分为三个步骤：1 )将高阶方程转化为一阶方程组；2)建立相应的函数文件；3)调用求解函数。 - 4 -

数值模拟实验结果如下图： (1)工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统发生1:2内共振：

调用求解： H=[0 20]; z0=[0;0.01;0;0.001;0;0.02;0;0.002]; [t,z]=ode45('f',H,z0); 于是，分别得到工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的时间历程曲线如图所示：

图1 工件弹性子系统分别取第一、第二阶模态时的时间历程曲线 - 5 -

图2 挠性杆—油石座工具弹性子系统分别取第一、第二阶模态的时间历程曲线 如上图可知，工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子振动系统发生1:2内共振时，工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统均是作恒幅恒频的周期振动，并且工件弹性子系统的振动周期是油石弹性子系统的2倍。并且工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第一阶、第二阶模态的时间历程曲线均接近于简谐函数，又由于工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动为自激振动，所以它们的这种自激振动是拟谐自振。由于，拟谐自振是弱非线性自治方程的齐次周期解，此类方程含有小参数，能保证摄动解的收敛性，也保证平均法计算结果的精度。 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第二阶模态的振幅与第一阶模态的振幅均小很多，所以可以得出，在工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的振动中，第一阶模态起主要作用，第二阶模态可以忽略不计。 (2)工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统发生1:4内共振：

图3 工件弹性子系统分别取第一、第二阶模态时的时间历程曲线 - 6 -

图4 挠性杆—油石座弹性子系统分别取第一、第二阶模态的时间历程曲线 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为 1:4 时，工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具子系统之间的动态特性相互影响较小，而且挠性杆—油石座工具弹性子系统的振幅也明显减小了。同时挠性杆—油石座工具弹性子系统的振幅也在随着时间的增长而缓慢增大，不再是一个恒幅的运动。 由图看出，在工件弹性子系统和挠性杆—油石座弹性子系统中，第二阶模态与第一阶模态相比影响很小，可以忽略其影响，在近似求解时，可以只取工件弹性子系统与挠性杆—油石座弹性子系统的第一阶模态。 工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为 1:4 时，工件弹性子系统与挠性杆—油石座工具弹性子系统的相轨迹均为相平面内的孤立的封闭曲线，即都是极限环。并且工件和油石弹性子系统取前两阶模态的极限环与只取第一阶的模态的极限环几乎重叠，所以可知第二阶模态的影响很小， 可以忽略掉。

5.总结 本文介绍了功率超声珩磨和超声珩磨过程中颤振的研究现状，发现颤振对功率超声珩磨的加工效率有一定的影响，对颤振的机理进了研究。在研究过程中，遇到求解高阶常微分方程的问题，因此运用matlab软件对求解精度最高的龙格库塔方法进行了数值求解。结果发现工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的第二阶模态对颤振系统动态特性的影响很小，在实际分析中可以忽略不计；当工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统的固有频率之比为1:4时，工件弹性子系统和挠性杆—油石座工具弹性子系统之间的动态特性相互影响较小，内共振现象不是很明显。 - 7 -

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