高考专题：解析几何常规题型及方法 本章节处理方法建议： 纵观2011年全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有 时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

~ 鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。 三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

， 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。 — 分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。

两式相减得 ()()()()xxxxyyyy12121212120。 又设中点P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得 22201212xyyyxx·。

又kyyxxyx121212， 代入得24022xyxy。 当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022xyxy 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 ] （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。 （1）求证离心率sinsin)sin(e； （2）求|||PFPF1323的最值。 分析：（1）设||PFr11，|PFr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。

得 rrc122sinsinsin()， sinsin)sin(ac

e

（2）()()aexaexaaex3332226。

当x0时，最小值是23a；

当ax时，最大值是26323aea。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为114：xp

由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 tptp14440，而 # 由消去得xytypxy

21()xtpxtp2220()()

()()2422tptpptp()440

故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)

xxtpxxtp121222，

OAOBkkOAOB，1 则xxyy12120 又yytxtx1212()() xxyyttp1212220() pfttt()22

@ 又，得函数的定义域是ptpft0440() ()()200，，

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a

的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则221212)(204)(4axxpaxxapa,又y1=x1-a,y2=x2-a, ,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221pappapppABappxxxxyyxxAB

解得:.42pap (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得： paxxx2213, .2)()(221213paxaxyyy

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P2，所以S△

NAB=22222||22||||21pppABpQNAB,即△NAB面积的最大值为P22。

（5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 · 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A/（12,11222kkkk），B（1)1(8,116222kkkk）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：

k=251,p=552. 所以直线L的方程为：y=251x,抛物线C的方程为y2=554x.

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|

的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

； N

Q O 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题 已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 ] 分析：椭圆上两点(,)xy11，(,)xy22，代入方程，相减得31212()()xxxx

412()yy()yy120。

又xxx122，yyy122，kyyxx121214，代入得yx3。

又由yxyxm34解得交点(,)mm3。 交点在椭圆内，则有()()mm224331，得2131321313m。 （7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求k的取值范围； （2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

】 分析：（1）直线ykx()2代入抛物线方程得

kxkxk222244440()，

由0，得110kk()。

（2）由上面方程得xxkk122244， yykxx12212224()()，焦点为O(,)00。

y B A P (-2,0) O x